Egy modell tartalmazzon N számú független axiómát.
Az axiómák elsőrendű állítások, amelyeket eredendően igaznak fogadunk el.
További igaz vagy hamis állításokat kaphatunk, ha az axiómákat "kommutáljuk" egymással. Ezek másodrendű állítások.
Ha a kapott állításokat ismét "kommutáljuk" egymással és az axiómákkal is, akkor további állításokat kaphatunk. Harmadik körben. És ha ezt a módszert folytatjuk, akkor visszakaphatunk már korábban kimondott állításokat, vagy akár magukat az axiómákat is. Az ilyen állítások halmaza zárt csoporto(ka)t képez.
Ezek az állítások a modell keretén belül igazak vagy hamisak. Igazolható módon.
Ugyanakkor tehetünk olyan állításokat is, amelyeket a modellben sem igazolni, sem pedig cáfolni nem lehet.
Ezek az ál-állítások nem tartoznak a modellhez.
Mondok egy példát:
Definiáljuk az euklidészi teret és az egyidejűséget, vegyük hozzá Newton 4 axiómáját és a tömegvonzás törvényét. Ezzel le lehet írni merev testek mozgását (és bizonyos mértékig az ütközését is). Viszont a rugalmas testek alakváltozását már nem lehet leírni ezzel a modellel. Most akkor a modell teljes?
A modellnek van formális matematikai definíciója, amit inkább esetleg Gergő tud pontosan elmondani.
Halmazosdi. Egy halmaz, aminek az elemei megfeleltetésben állnak az axiómarendszer fogalmaval, a halmaz elemei között relációk és műveletek vannak értelmezve, és az axiómák állításai megfeleltethetőek a modell, mint halmaz elemei közötti műveletekkel és relációkkal, és teljesülnek az axiómák. De nem akarok kontárkodni, inkább Gergő lesz ebben az illetékes.
> Persze most tisztán a matematikai részre vonatkoztatva.
> Én eddig azt gondoltam, hogy vannak az axiómák, és az ezekre épülő állítások öszessége a modell.
Egy axiómarendszernek egy modellje valami (mondjuk algebrai struktúra: halmaz relációkkal és függvényekkel), amire teljesül az axiómarendszer. Például a csoportaxiómák (3 darab) axiómarendszert formálnak, amelynek például Z_2 egy modellje. (Z_3 is modellje, így például a (∃x), (∃y), (∀z), [(z=x) v (z=y)], "maximum 2 elem van" formula független a csoportaxiómáktól).
Egy axiómarendszerre "épülő állítások összessége", vagyis a szintaktikai következményeinek a halmaza az axiómarendszer elmélete.
A csoportaxiómák elmélete, amennyire tudom, egy felsorolható, de nem eldönthető halmaz.
A modellnek van formális matematikai definíciója, amit inkább esetleg Gergő tud pontosan elmondani.
Halmazosdi. Egy halmaz, aminek az elemei megfeleltetésben állnak az axiómarendszer fogalmaval, a halmaz elemei között relációk és műveletek vannak értelmezve, és az axiómák állításai megfeleltethetőek a modell, mint halmaz elemei közötti műveletekkel és relációkkal, és teljesülnek az axiómák. De nem akarok kontárkodni, inkább Gergő lesz ebben az illetékes.
Pl. a valós számok axiómarendszerére is több modell húzható, Lachkovics Miklós így is tanította az ELTE-n.
Vagy pl. az euklideszi geometria absztrakt axiómarendszere az egy axiómarendszer, melynek az A4-es papír egy jó modellje.
Vagy ha vesszük a geometria Hilbert féle axiómáit, akkor az elég absztrakt matematikai axiómarendszer. Erre az absztrakt axiómarendszerre az utolsó (a párhuzamossági) axióma kivételével több szemléletes modell is adható, pl. a gömbfelület és az A4-es papírlap egyformán jó modellje ennek az axiómarendszernek. (Amit egyébként abszolut geometriának hívnak.)
Ebben a csonka axiómarendszerben a párhuzamossági állítás egy gödeli állítás. De mindkét modell válaszol erre a gödeli állításra. Az egyik így, a másik úgy. Ezt a gödeli állítást így vagy úgy választva bővíthetjük az axiómarendszerünket. És a bővített axiómarendszernek már nem modellje a korábbi két modell, csak az egyik.
Vagy a harmadik választás, ha a Bolyai irányban válaszolunk a párhuzamossági axiómára. Az meg a harmadik geometriát adja. Aminek egy jó modellje az euklideszi papírra rajzolt körlap (Cayley-Klein modell). Vagy aki tanult specrelt, annak talán még szemléletesebb a 2+1 dimenziós Minkowski geometriába rajzolt c2t2-x2-y2=konstans>0 hiperboloid felületek. Ez is a Bolyai geometria Hilbert féle axiómarendszerére adott modell.
És ami a lényeg, a fizikai elméleteink azok modellek, tehát nem pusztán axiómarendszerek. A modellekben nincs gödeli állítás. Minden állítás leellenőrizhető, és kapunk valamilyen választ rá, bizonyítjuk vagy cáfoljuk.
Nem értem a különbséget. Nem világos, pontosan mit jelent az, hogy az "axiómarendszer modellje". Persze most tisztán a matematikai részre vonatkoztatva.
Én eddig azt gondoltam, hogy vannak az axiómák, és az ezekre épülő állítások öszessége a modell. Az állításokat pedig úgy lehet bizonyítani, hogy logikai lépésekkel visszavezetjük az axiómákra.
Itt nyilván valami másról is szó van, de azt nem tanultam, és elképzelésem sincs a mibenlétéről.
Gödel egy másik kérdés. Azt mondja, axiómarendszeren belül is mindig lesznek el nem dönthető kérdések.
Na mert az van - most világosított fel a kollégám -, hogy egy dolog az axiómarendszer, és másik dolog az axiómarendszer modellje.
A modell az teljes. Azon belül minden állítást lehet igazolni vagy cáfolni. Az axiómarendszer az, ami nem teljes.
Egy axiómarendszerre több modell is alkotható. Mindegyik modell teljesíti az axiómákat. De az axiómarendszer Gödeli állításaira az egyik modell ezt mondja, másik modell meg azt mondja. De valamit konkrétan mond ezekre a gödeli állításokra is a modell.
Pl. ott van a Bolyai geometriának a Cayley-Klein modellje. Maga a Bolyai geometria axiómarendszere egy axiomarendszer, tehát biztos van benne gödeli állítás. De a Cayley-Klein modell (a körmodell) ezekre az állításokra is konkrétan mond valamit: ott van, be kell rajzolni a körbe és meg kell nézni, pont.
Tehát a modell a valahogy "teljesebb" mint maga az axiómarendszer. Az axiómarendszerre ráhúzott modell mond valamit minden egyes gödeli állításról is.
Viszont egy axiomarendszerre több modell is húzható, és ezek akár minden gödeli állításra mást és mást mondanak.
Vagy ott van pl. az abszolút geometria, azaz minden axióma a párhuzamossági axióma nélkül. Erre több modell is adható, pl. gömbi-euklideszi-hiperbolikus. Mindegyik modell teljesíti az alap abszolút geometria minden axiómáját. De van egy gödeli állítás a párhuzamosságról. Ez egy gödeli állítás. Ez erre már mindhárom modell mást és mást mond. De mindegyik egyértelműen mond valamit.
Inkább a modell maga a kísérleti kérdés, hiszen maguk az axiómák nem feltétlenül ellenőrizhetőek kísérlettel. Pl. a kvantumelmélet axiómái.
Én azt úgy fogom fel, hogy egyrész van az axiomatikus modell, másrészt van egy megfeleltetés, ami összeköti a fizikai mérésekkel. Newtonnál ez nem válik el világosan, hiszen abban a korban még máshogy tekintettek a fizikára. De semmi akadálya, hogy világosan szétválasszuk.
Gödel egy másik kérdés. Azt mondja, axiómarendszeren belül is mindig lesznek el nem dönthető kérdések. Egyelőre a fizikában nem tudok arról, hogy ez bármilyen formában konkrét problémát okozott volna.
Példa: a Földet egy gömbbel jellemezzük. Később kiderül, hogy nem pontosan gömb, nem egyszerűen az a gond amit kezdettől tudtunk (hegyek stb), hanem nagy léptékben is lapult meg minden.
Nem az a baj, hogy a gömb nem jó matematikai konstrukció. Az egy teljesen korrekt valami, és az is marad. Csak az a baj, hogy azt hittük, a Föld eléggé hasonlít erre a matematikai objektumra, pedig nem.
Nem teljesen erről van szó.
Te szoktad azt hangoztatni, hogy a fizikai modelljeink axiomatikus matematikai struktúrák. Az axiómák érvényessége pedig kísérleti kérdés.
Most arról beszélsz, hogy a kísérletek bizonyos határok közé szorítják az axiómák érvényességét, amin kívül az axiómák már egész egyszerűen nem igazak.
Pl. Newton egy ellentmondásmentes axiomatikus rendszer, ami akár korlátok nélkül igaz is lehetNE, csak éppen nagy sebességeknél már mégsem pontos, azaz az axiómái NEM IGAZZÁ válnak.
Gödel esetében nem erről van szó. Itt arról van szó, hogy az axiómák továbbra is igazak, nincsenek megcáfolva sem kísérlettel, sem mással. Azok igazak és ellentmondásmentesek.
Mégis megfogalmazható ezen axiómarendszeren belül olyan állítás, amit se bizonyítani, sem cáfolni nem lehet.
És ez más probléma.
Tehát te arról beszélsz a példáidban, hogy a fizikai modellek azok tök jó axiomatikus matematikai struktúrák, csak éppen ez a fránya természet nagy sebességeknél és egyéb határterületeken magukat az axiómákat cáfolja. Ez igaz.
De Gödel Zsolti arról beszél, hogy lehetnek azok az axiómák kísérletileg minden körülmények között hiba nélkül tökéletesen igazoltak, mégis megfogalmazható olyan állítás az axiómarendszeren BELÜL, amire az axiomatikus modell nem tud semmit sem mondani. A természetnek meg mégis lesz egy válasza arra az állításra.
Tehát: véges számű axiómából összerakott fizikai modell nem lehet teljes. Nem azért, mert az axiómák NEM IGAZZÁ válnak a határterületein, hanem azért, mert bár az axiómák továbbra is igazak, mégsem lehet minden modellen belül megfogalmazható kérdésre válaszolni a modellen belül.
Azért a magam részéről mégis kíváncsi lennék arra, hogy például a hullámfüggvényben mi hullámzik.
Ez egy nagyon béna kérdés, mégis nagyon nehéz egy értetlen, a tudományos gondolkodást nem értő embernek elmagyarázni, hogy miért is annyira béna.
A "miből van" típusú kérdés akkor értelmes, ha az adott objektumot fel lehet bontani egyszerűbb, ismert alkatrészekre, és ezekből összerakni. Pl. a súlyzó vaskorongokból áll, így és így rúdra szerelve. Aki tudja, mi a vaskorong, mi a rúd, van elképzelése a szerelésről, megérti.
Ez a séma valamennyire működik mondjuk a levegő esetében is, azt mondjuk, molekulákból áll. Persze abban a pillanatban megkérdezik, mi a molekula, kezdhetünk atomokról és azok összekapcsolódásáról beszélni. De van támpont, mert eleve értik, hogy valami állhat apró alkatrészekből, az apró alkatrészek még kisebb másik alkatrészekből, hiszen láttak már dolgokat szétszedni. Ez olyasmi, mint kiszedni az autóból a motort, abban van tengely meg dugattyú, a dugattyúban csapszeg.
Csakhogy van egy csomó dolog, amit nem így cészerű modellezni. Egyáltalán, a tulajdonságai nem hasonlítanak az apró alkatrészek közös tulajdonságaihoz. Még olyan alapvető dologban sem, hogy van jól meghatározott helyük, sebességük meg ilyesmi. Esetleg még abban sem, hogy hányszor kell körbejárni, hogy ugyanolyannak tűnjön megint. Nos, az ilyeneket már nemigen lehet úgy magyarázni, hogy mondjuk két fagolyó madzaggal körültekerve. Nem értelmes kérdés, hogy miből van. A tulajdonságai az érdekesek. Mivel jellemezhető, vannak-e szimmetriái, mi van ha ez vagy az kölcsönhat vele és így tovább.
Aki nem képes elvonatkoztatni kissé a köznapi tapasztalatokon alapuló gondolkodástól, ezt nem érti meg. Kitart amellett, hogy ne ködösítsenek, mondják meg, miből van. Ha nem tudják megmondani, nyilván ők se tudják.
Ami végül is igaz. Csak az nem teljesen igaz, hogy akkor ugyanúgy semmit se tudnak.
Mert aki kérdezi, az nem tud mondjuk processzort vagy gravitációs detektort csinálni, aki meg nem tud válaszolni, de mégis tud egy csomó más dolgot, ami a kérdezőt nem érdekli, az meg esetleg képes erre.
Egy fizikai modell érvényessége egész más kérdés. Ott nem a matematika résszel van a baj, hanem azzal, hogy az egyébként hibátlan és tökéletes matematikai rész nem ad kellően hasonló eredményt, mint amire használni akarjuk a fizikában. Bizonyos körülmények között nem lehet azzal modellezni, amivel gondoltuk.
Példa: a Földet egy gömbbel jellemezzük. Később kiderül, hogy nem pontosan gömb, nem egyszerűen az a gond amit kezdettől tudtunk (hegyek stb), hanem nagy léptékben is lapult meg minden.
Nem az a baj, hogy a gömb nem jó matematikai konstrukció. Az egy teljesen korrekt valami, és az is marad. Csak az a baj, hogy azt hittük, a Föld eléggé hasonlít erre a matematikai objektumra, pedig nem.
A modell célja, hogy az ezzel kiszámított eredmény összhangban legyen a mérésekkel, megfigyelésekkel. Utóbbiakról pedig azt gondoljuk, ezek tükrözik a valóságot. De ez már filozófia, nem tartozik a modellhez.
Más oldalról megvilágítva a modell egy szerszám. Mint mondjuk egy villáskulcs. A villáskulcstól nem azt várjuk, hogy megvilágítsa a csavarozás mélyebb elvi lényegét. Hanem meg akarunk húzni vele egy hatlapfejű csavart.
Akkor mondd meg, mi hullámzik egy hullámzó erőben?
Egy makroszkopikus rendszer egy kölcsönhatási jellemzője hullámzik benne, amit egy valós értékű vektormennyiséggel mérünk.
A hullámfüggvényben pedig egy mikroszkopikus rendszer egy állapotjellemzője hullámzik, amit egy komplex szám értékű mennyiséggel mérünk.
Azért ezekkel a mennyiségekkel, mert épp velük sikerült a mérésekkel egyező jóslatokat tenni a bekövetkezendő eseményekre.
A komplex kvantumállapotokhoz nem tudunk érzeteket társítani.
Az erővektorokat valóságosabbnak érzed, mert valami izom érzetet asszociálhatsz hozzá.
Van más olyan érzetünk is, ami vektormennyiséggel írható le, pl. a szín.
Bizonyos valós skalármennyiségeket, például a hőmérsékleteket is érezhetünk a bőrünkön.
De már a klasszikus fizikában is használunk olyan mennyiségtípusokat, amelyekhez nem olyan könnyű közvetlen érzeti élményt társítani. Ilyen például a tenzormennyiségek prototípusa, a kiterjedt testek feszültségi állapota, amit minden pontjában 6 független valós szám jellemez.
A fizikusok mindezzel tisztában vannak, ezért nem kergetik a te délibábjaidat. Nem kérdezik, miből van a hullámfüggvény, miből van az erő, miből van a töltés, . . . ?
De, az egzakt tudományok így működnek, a matematika és a fizika pedig az. Ezekben a pontos definíció az elvárás.
Ezt nevezem szavannai matematikának.
Mindig új axiómákkal kell kiegészíteni, amikor a régi modell érvényességi körétől eltávolodunk.
Én ezt egyetlen modellről írtam, általában, függetlenül attól, hogy az mennyire közelíti meg a méréseket. Ha el is avul, a modelltől akkor is elvárjuk, hogy egzakt legyen.
Köszönöm ezt a 8 hónapos "kis" vitát, igazán jó volt, izgalmas volt.
Függetlenül attól, hogy kinek miben és mennyire volt igaza, nagyszerű ellenfél és vitapartner voltál, amit nemcsak a több mint 9000 hozzászólás bizonyít, hanem az is, hogy szinte egyedül szálltál szembe mindenkivel, és becsülettel álltad a sarat.
Egy olyan topicot és olyan vitát hoztál létre, ami sok örömet okozott olyanoknak is, akik nem írnak ide, csak olvassák. Magam is tudok legalább két ilyenről, akik így néma szemlélőként is egészen megkedveltek téged.
Szemben azokkal, akik azt gondolják, hogy itt csak "medvetáncoltatás" folyt, én egyáltalán nem így gondolom. Sőt azt tapasztaltam, ha esetleg voltak is olyanok, akik az elején csak ezt látták benne, később azoknak is megváltozott a hozzáállása, és elkezdték komolyabban venni a dolgot. Egyébként tényleg olyan lett ez a topic, mint egy vetélkedő (aminek szántad), és amiben nemcsak veled vetélkedtünk, hanem egymással is.
Úgyhogy nekem hiányozni fog ez a "biztos, változatlan, békebeli topic a vírus által káoszba hulló világban" (hogy mmormota örök becsű szavait idézzem :)), és szerintem másoknak is.
Az iménti az összefoglalóval zárom a magam részéről ezen a topikon való ténykedésemet.
Nem erőltetek senkire semmit, mindenki annyit hasznosít a bejegyzéseimből, amennyit akar, s azt hisz róla, amit akar.
Nem gondolom a magam felfogásáról, hogy tökéletes volna, de az ezzel szemben álló megoldást sem tartom annak, sőt hibásnak tartom, mint ahogy ezt több oldalról is megvilágítottam.
Ahogy már szóltam róla, jobb lesz, ha nem is nézek már erre a topikra, mert akkor esetleg nem tudnám megállni a hozzászólást. Már a legutóbbi hozzászólásokat sem olvastam el, emiatt.
