Törölt nick
2021.01.06
0 0
9632
Rekonstruáljuk a hatásintergált:
Az időfüggő tagot nem a kinetikus energiához vettem, hanem a potenciális energiához.
T-V(t)
Ebből már könnyű az időfüggő Hamilton operátort átszámolni...
Aztán kalapozhatjuk a harmonikus oszcillátort.
Előzmény: Törölt nick (9630)
Törölt nick
2021.01.06
0 0
9631
Szeparáljuk a bázisfüggvényeket:
c2 és c3 tetszőlege.
c1 és ω2 kiadódik.
Tulajdonképpen számozhattam volna másképp is, hogy a kiadódók azonos indexelést kapjanak.
Előzmény: Törölt nick (9630)
Törölt nick
2021.01.06
0 0
9629
x1 = c1 sin ω1 t
(x2 )" = Z2 x1 - Z2 x2
Ezt szépen belyelyettesítjük:
(x2 )" = Z2 c1 sin ω1 t - Z2 x2
Egyrészt ezt a differenciálegyenletet kell megoldani.
Viszont sokkal fontosabb, hogy ebből a hatásintegrált rekonstruálni lehessen.
Többértelműség. Az első tagban nincs sem x2 sem pedig az idő szerinti első deriváltja.
De most mi időfüggő potenciált akarunk, nem pedig időfüggő tömeget. ;)
d( d( m2 (x2 ')2 /2) /dx2 ') /dt + d( c1 ( cos(ω1 t)-x2 ) /2) dx2
Valahogy így. Majd képletszerkesztővel leírom rendesen...
Előzmény: Törölt nick (9628)
Törölt nick
2021.01.05
0 0
9628
(x1 )" = -(Z1 +Z3 ) x1 + Z3 x2
(x2 )" = Z2 x1 - Z3 x2
Átgondoltam.
A két egyenlet közül az egyiket le fogom cserélni explicit időfüggésre. (Csak még nem döntöttem el, hogy melyiket.)
x? = sin ωt
És majd ebből kell "rekonstruálni" a hatásintegrált, majd pedig abból az időfüggő H(t) energiaoperátort.
Talán megcsinálom mindkét esetet...
Előzmény: Törölt nick (9626)
Törölt nick
2021.01.01
0 0
9627
A próbafüggvényekben a chk együtthatók komplex számok. (Fázis.)
Behelyettesítés után egyeztetjük az együtthatókat:
Ehhez két független másodfokú egyenletet kell megoldani:
Csatolt rezgéseket kaptunk
A frekvenciák függenek a rezgések kitérésétől.
Előzmény: Törölt nick (9599)
Törölt nick
2020.12.31
0 0
9626
Próbafüggvény módszer:
x1 = c11 eiω1 t + c12 eiω2 t
x2 = c21 eiω1 t + c22 eiω2 t
(x1 )" = -Ω1 c11 eiω1 t - Ω2 c12 eiω2 t
(x2 )" = -Ω1 c21 eiω1 t - Ω2 c22 eiω2 t
(x1 )" = -(Z1 +Z3 ) x1 + Z3 x2
(x2 )" = Z2 x1 - Z3 x2
Behelyettesítés után egyeztetjük a különböző frekvenciájú alapfüggvények (? bázisok? ) együtthatóit:
(Z1 +Z3 ) c11 - Z3 c21 = Ω1 c11
(Z1 +Z3 ) c12 - Z3 c22 = Ω2 c12
Z2 * (c21 -c11 ) = Ω1 c21
Z2 * (c22 -c12 ) = Ω2 c22
Ebből:
Ω1 = Z2 * (c21 -c11 )/c21
Ω2 = Z2 * (c22 -c12 )/c22
Visszahelyettesítve:
(Z1 +Z3 ) c11 - Z3 c21 = c11 * Z2 * (c21 -c11 )/c21
(Z1 +Z3 ) c12 - Z3 c22 = c12 * Z2 * (c22 -c12 )/c22
Az átszorzást holnap folytatom...
Előzmény: Törölt nick (9599)
Törölt nick
2020.12.31
0 0
9625
Megpróbálkozok az m1 =∞ illetve m2 =∞ közelítéssel.
m2 =∞, x2 =konstans
m1 (x1 )" = -(k1 +k2 ) x1
Ω1 = ω1 = k1 /m1
Ω3 = ω3 = k2 /m1
Ω = Ω1 + Ω3
(x1 )" = -(Ω1 +Ω3 ) x1 = -Ω x1
A megoldást x1 (t) = C sin ωt alakban keressük, ahol Ω=ω2 .
x1 = C sin ωt
(x1 )' = C ω cos ωt
(x1 )" = -C ω2 sin ωt = -C Ω sin ωt
Behelyettesítve:
-C ω2 sin ωt = -C Ω sin ωt = -C (Ω1 +Ω3 ) sin ωt
ω = √(k1 /m1 +k2 /m1 ) = √( (k1 +k2 )/m1 )
m1 =∞, x1 =konstans
m2 (x2 )" = -k2 x2
Ω2 = ω2 = k2 /m2
A megoldást x2 (t) = C sin ω2 t alakban keressük.
x2 = C sin ω2 t
(x2 )' = C ω2 cos ω2 t
(x2 )" = -C (ω2 )2 sin ω2 t = -C Ω2 sin ω2 t
Behelyettesítve:
-C (ω2 )2 sin ω2 t = -C Ω2 sin ω2 t
ω = √(k2 /m2 )
Következhet a perturbáció...
Előzmény: Törölt nick (9623)
Törölt nick
2020.12.31
0 0
9623
Már nagyon idegesítő, hogy nem jön ki a megoldás. :(
m1 (x1 )" = -(k1 +k2 ) x1 + k2 x2
m2 (x2 )" = k2 x1 - k2 x2
És most nem lesz Ω = ω2 = k/m
mert ez azt sugallaná, hogy ezek a körfrekvenciák fognak megjelenni. De ez egyáltalán nem biztos, sőt nem is jön ki.
A = k1 /m1
B = k2 /m2
C = k2 /m1
Ezekről tudjuk, hogy egyik sem negatív. Ennek később lesz még szerepe.
(x1 )" = -(A+C) x1 + C x2
(x2 )" = B x1 - B x2
Determináns alakban:
| A+C-λ, -C |
| -B, B-λ |
det = (A+C-λ) * (B-λ) - BC =
= AB + BC - Bλ -Aλ -Cλ + λ2 - BC =
= AB + BC - BC - (A+B+C)λ + λ2 =
= λ2 - (A+B+C)λ + AB
A másodfokú megoldóképlettel:
a = 1
b = - (A+B+C)
c = AB
λ1,2 = ( (A+B+C) ± √( (A+B+C)2 -4AB ) ) /2AB
A diszkrimináns:
(A+B+C)2 -4AB = (A-B)2 +C2 +2AC+2BC
Amiről belátható, hogy nem negatív.
Ha C=0:
0 ≤ (A-B)2
viszont ha A=0 vagy B=0:
0 ≤ (B+C)2
illetve
0 ≤ (A+C)2
de sajnos egyszerűbb alakra hozni nem sikerült.
Pedig szép lett volna valami (A-B+C)2 alakra hozni.
Végül a sajátértékekből még négyzetgyököt kellene vonni. A gyökvonásnál hamis gyök is keletkezhet. :(
https://forum.index.hu/Article/viewArticle?a=156856378&t=9168928
Még gyökölök vele...
Előzmény: Törölt nick (9599)
Törölt nick
2020.12.22
0 0
9620
Keressük a megoldást a következő alakban:
x1 = A1 sin ωt
x2 = A2 sin ωt
Ha jól veszem fel a potenciális energiát, és nem fordítva, akkor az alábbi eredmény kapható:
A2 = -A1 m1 /m2
vagyis az amplitudók fordítottan arányosak a tömegekkel.
A2 /A1 = m1 /m2
ω2 = k / (m1 × m2 ) = k / ( (1/m1 ) + (1/m2 ) )
A potenciális energiát azonban nem lehet ész nélkül felírni. Ellenőrizni kell, hogy a hely szerinti deriváltja a megfelelő irányú erőt adja.
https://youtu.be/3YARPNZrcIY?list=PLQrxduI9Pds1fm91Dmn8x1lo-O_kpZGk8&t=3486
Előzmény: Törölt nick (9618)
Törölt nick
2020.12.22
0 0
9619
Sokadik próbálkozásra sikerült megoldanom az egyszerűsített példát: rúgó két végén különböző tömegek.
A probléma nem matematikai természetű.
L=T-V
Csakhogy
V(x1 ,x2 ) = k * (x1 -x2 )2 /2 = k * (x2 -x1 )2 /2
:(
A potenciális energia szempontjából mindegy (mert a négyzet megeszi az előjelet) , de az erő szempontjából már nem.
Rossz előjellel persze nem jön ki az eredmény.
Na most ilyenkor mi van?
Előzmény: mmormota (9604)
Törölt nick
2020.12.20
0 0
9617
Kváziperiodikus. Speciális esetben lehet periodikus is.
De nem inga, hanem órarúgógerincű felpattanó.
A megoldás pedig azért érdekes, mert ebből lesz majd időfüggő Hamilton. Ha egyszer sikerül megoldani.
Előzmény: jogértelmező (9616)
Törölt nick
2020.12.20
0 0
9615
Tehát a rezgések szétcsatolódnak, amikor m1 >> m2 és m1 /k1 >> m2 /k2 esete vizsgáltatik.
Úgy tűnik, hogy ez csak közelítés.
Ugyanis sem egy, sem pedig kettő sajátértékkel nem lehet a próbafüggvény együtthatóit tökéletesen egyeztetni.
(Megpróbáltam három sajátértékkel is, de ott már túl sok a szabadsági fok. Habár azt nem hinnám, hogy három lenne neki.)
Talán az lehet a baj, hogy tisztán képzetes sajátértékekkel próbálkoztam, ami még a közelítőleg csatolatlan rezgések határesetében sem teljesül pontosan.
https://forum.index.hu/Article/viewArticle?a=156856063&t=9168928
Előzmény: Törölt nick (9606)
Törölt nick
2020.12.20
0 0
9614
Elnézést, ezt elkapkodtam és kimaradt a lényeg. ;)
Hogyan lehetséges, hogy a földszinten álló üres liftbe két ember száll be, és az első emeleten már hárman szállnak ki belőle?
Előzmény: szabiku_ (9613)
Törölt nick
2020.12.19
0 0
9612
De hát olyan nincs.
Ez csak definíció kérdése. ;)
Vicc:
Megkérdeznek egy fizikust, egy biológust és egy matematikust.
Hogyan lehetséges, hogy a földszinten álló liftbe két ember száll be, és az első emeleten már hárman szállnak ki belőle?
A fizikus szerint ez ellentmond az anyagmegmaradás elvének.
A biológus szerint ez a természetes szaporulat.
A matematikus szerint viszont csak definíció kérdése: a földszinte álló lift akkor üres, ha egy ember már van benne. :D
Előzmény: szabiku_ (9611)
szabiku_
2020.12.19
0 0
9611
>Nagyon fontos. Ugyanis az időfüggő Hamilton operátort akarom vizsgálni, ha majd...
:DDD
#De hát olyan nincs. (Legalább is a K.K - G.Á féle elképzelési módon...) A project megbukott.
Előzmény: Törölt nick (9606)
Törölt nick
2020.12.19
0 0
9609
Ez pedig m2 >m1 esete:
A nagyobb tömeg mozgását alig befolyásolja a kisebbik fickándozása.
Ezzel együtt a nagyobb tömeg mozgásának visszahatása is kicsi.
Előzmény: Törölt nick (9606)
Törölt nick
2020.12.19
0 0
9606
Nagyon fontos. Ugyanis az időfüggő Hamilton operátort akarom vizsgálni, ha majd beleülök x2 rendszerébe.
Annyi azonban biztos, hogy egy labda pattogását elhanyagolhatóan befolyásolja a Föld keringése a Nap körül.
Tehát a rezgések szétcsatolódnak, amikor m1 >> m2 és m1 /k1 >> m2 /k2 esete vizsgáltatik.
Vagyis mindenképpen kell lennie a próbafüggvényben Ω = ω2 = k1 /m1 körfrekvenciának.
Elsőrendű lineáris diffegyenlet-rendszer megoldására találtam leírást.
Másodrendűnél viszont csak próbafüggvényekkel majomkodhatok, de túl sok az ismeretlen együttható.
Itt van egy szimuláció:
https://www.myphysicslab.com/springs/double-spring-en.html
Sajnos a rúgómerevség és a hossz közös, ami az általánosság rovására történő megszorítás.
Előzmény: mmormota (9604)
Törölt nick
2020.12.19
0 0
9603
Még nem tudtam megoldani.
Asszem még soha életemben nem oldottam meg másodrendű parciális differencoálegyenlet-rendszert.
De az alfa sem!
Előzmény: Törölt nick (9602)
Ha kedveled azért, ha nem azért nyomj egy lájkot a Fórumért!