Miután a Skalár-e az egydimenziós vektor?-ral már úgyis jól lejárattam magam, így bátorkodom előhozni egy másik gyermekkori nümükémet.
Például itt az a csoda, amit a nemrég fellelt Archimédeszi Palimpszesztben is megtaláltak, miszerint a(z azonos magasságú és átmérőjű) henger=gömb+kúp
Mindigis zavart, hogy milyen szépek lennének a képletek, ha az a fránya Pi pontosan három lenne, és
nem 3,14...
Elhülyéskedtem a kérdéssel, de a legtöbb, amit a fagyos közönyön kívül ki tudtam váltani vele, az a fagyos elutasítás volt.
Talán mert belekevertem a Jóistent is.
Oly módon, hogy a Jóisten nem a térdén hajlította meg a teret (Pi<3 lett volna), nem is az ujjával csettintve (Pi=3 maradt volna) hanem ajkaival pontosan kiszámítva cuppantott (Pi=3,14... lett), mikor teret teremtette.
(Az Élet Értelme: http://zorroaszter.nolblog.hu/archives/2012/06/03/Az_Elet_Ertelme/)
De talán itt az indexen vannak érzőbb szívű olvtársak is.
Tehát a végső kérdés (The Ultimate Question):
Létezhet-e olyan speciálisan horpadt nemeuklideszi tér, ahol a pi pont három?
És ha létezik, ez lenne minden geometria ősanyja?
Igen, testvérek! A pi csak egy definíció, illetve axióma, a pi levezethetosege csupan akarat kerdese. Ne adjátok fel a keresést, lépjetek túl az euklideszi geometrian es meglelitek az uj, modern geometriat. Segitsegetekre lehet Xorter mester legnagyobb muve.
Ha egy ovodast biznak meg a pi megmeresevel, vagy egy okori egyiptomit, akkor siman lehet a pi akar 3 is. Az ovodas nem ismeri csak az egesz szamokat, az okori egyiptek meg hanyagok voltak.
Közben rájöttem hogy van Pi=3 geometria, csak kb. egy év alatt se fejeztem be a cikket. De lehet hogy most beindulok és befejezem. Egyébként egyszerűbb a dolog mint hittem. És mégcsak nem is szükséges hozzá a Jóisten cuppantása. :o)
Minden létezhet legalábbis az elméleti matematikában, amiben axiómákból indulunk ki és az eredményeiben nem találunk ellentmondást. Tehát ilyen kvantált geometria is. De azt hiszem, neked kell kidolgozni mert szerintem még nincs.
Köszönöm szépen az érdekes cikket! Egyetértek abban, hogy az euklideszi geometria érvényességétől függetlenül (a fizikai világban) is lehet "mérni a pi-t", de persze ilyenkor is igazából a keretelméletnek az adott felhasználását vagy felhasználhatóságát teszteljük (a példában a valószínűségszámítást és a tűdobálást). Az is egy mérés, hogy egy számítógépbe beprogramozzuk a pi-re vonatkozó kedvenc formulánkat, és várjuk, mit dob ki a gép: ilyenkor egyszerre "mérjük a pi-t" és teszteljük a számítógépünket. Emlékezetes példa, amikor az ikerprím-konstanst hibásan számolta a Pentium chip és az utóbbit vissza kellett hívni (az ikerprím-konstans pedig maradt).
Szokták próbálni a pi értékét meghatározni a fizikai valóságban?
Nem. Egyrészt Einstein óta tudjuk, hogy az euklideszi geometria csak közelítőleg érvényes a világban, olyannyira, hogy a kerület és az átmérő hányadosa minden fizikai körnél más és más (persze a gyakorlatban mindig a pi-nek nevezett szám környékén van). Az általános relativitáselmélet nagyon precíz állításokat fogalmaz meg a tér (pontosabban a téridő) geometriájára vonatkozóan, és ezt igyekeznek ellenőrizni minél pontosabb mérésekkel. Ilyen értelemben az euklideszi geometria lejárt lemez a fizikában, pontosabban csak egy közelítő modell, aminek érvényességi területe ismert.
Ugyanakkor azt még régebb óta tudják, hogy a hagyományos mérőeszközökkel (vonalzó, madzag stb.) dolgozva az euklideszi geometria hibátlannak mutatkozik, tehát az eltérés tőle a mérési hibán belül marad. Természetesen a Föld felszínén nem az euklideszi geometriát érdemes használni, hanem a gömbi geometriát, de ezt Einstein előtt is tudta mindenki (szerintem még maga Euklidész is, hiszen biztos tudta, hogy a Föld gömbölyű).
Még valami: nem jó keverni a matematikát és a fizikát. A pi egy matematikai fogalom, ezt jobb egyszer és mindenkorra tisztázni, és egyetlen pi-vel jelzett szám van.
ha 3 dimenziós tér valójában gömb felület lenne
A 3-dimenziós tér nem lehet gömbfelület, mert az utóbbi 2-dimenziós. Lehetne persze egy 4-dimenziós gömb 3-dimenziós határa, de tudjuk, hogy nem az.
a nagyon nagy, a végtelen átmérőjű kör kerülete az lenne ugyebár
A körnek definíció szerint véges az átmérője, és így a kerülete is. Nincs olyan, hogy végtelen átmérőjű kör.
Szokták próbálni a pi értékét meghatározni a fizikai valóságban? Olyasmire gondolok, hogy ha 3 dimenziós tér valójában gömb felület lenne akkor ugyebár minél nagyobb kört rajzolunk.... a nagyon nagy, a végtelen átmérőjű kör kerülete az lenne ugyebár 0? (-: De hogyan is alakul közben ha a 3 dimenziós tér egy végtelen nagy átmérőjű gömb felülete?
(gondolom ha egy hajó útját számítják ki a földön már akkor se 3.14.... ? )
A bizonyítást könnyebb végiggondolni, mint sok tizedesjegyre kiszámolni.
Egyébként ez egy ismert dolog geometriából, úgy szokták fogalmazni, hogy egy érintősokszög területe megegyezik a félkerület és a beírt kör sugarának szorzatával. Angolul lásd pl. itt.
Bizonyítás. Vegyünk egy érintősokszöget, és jelölje r a beírt kör sugarát. Minden oldal r távolságra van a középponttól, ezért ez az oldal a középponttal egy olyan háromszöget határoz meg, aminek területe (r/2)-szerese az oldal hosszának. A sokszög területe ezen háromszögek területének összege, tehát a terület a kerület (r/2)-szerese. Ugyanakkor a kör területe pi.r2, kerülete 2pi.r, tehát a körre is igaz, hogy a terület a kerület (r/2)-szerese. Kész.
Megjegyzés. A megfigyel összefüggés nem véletlen, hiszen a kör előáll az érintősokszögeinek határértékeként. Mivel minden érintősokszögnél a terület a kerület (r/2)-szerese, ezért ez a tulajdonság fenn kell, hogy álljon a kör esetében is.
Nem hinném, hogy ide tartozik de nem látok más pís topicot. Érdekes? vagy nem? Egy négyzetbe írható kör területe és kerülete pontosan úgy aránylik egymáshoz mint a négyzet kerülete és területe. Nem próbáltam bizonyítani, csak kiszámoltattam géppel sok tizedesjegyig.
a pí számértékének meghatározása, az szerintem levezetés
Igen, de Te azt mondtad, hogy "a pi levezetése", aminek nincs értelme, én erre reflektáltam. A pi az egy szám (fogalom), nincs mit rajta levezetni.
A számérték bármiféle meghatározása természetesen levezetés, de előtte tisztázni kell, hogy mit is értsünk "meghatározáson", hiszen ez egy szubjektív dolog (avagy kulturális dolog).
Érthetjük alatta azt, hogy sorra találjuk meg a pi tizedesjegyeit, azaz: 3<pi<4, majd 3.1<pi<3.2, majd 3.14<pi<3.15, majd 3.141<pi<3.142, stb. Ezek mind korrekt tételek, tehát van bizonyításuk (levezetésük).
A pi-n nincs mit levezetni, hiszen az csak egy jelölés. Van egy tétel az euklideszi geometriában, miszerint minden kör kerületének és átmérőjének aránya ugyanaz a szám. Ezt a számot jelöljük pi-vel. (Persze vannak más definíciók is, de mindig ugyanezt a pi-t adják meg.)
Levezetni a pi-ről szóló egyéb állításokat lehet. Pl. le lehet vezetni, hogy 3.14<pi<3.15, vagy
pi/4 = 1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 +-...
vagy
pi2/6 = 1/12 + 1/22 + 1/32 + ...
vagy
az egységgömb felszíne 4*pi és a térfogata (4/3)*pi
vagy
pi nem egyenlő két egész szám hányadosával.
Az aranymetszés az más tészta. Az egy tételhez kapcsolódik, miszerint ha egy szakaszt úgy osztunk fel, hogy az egész a nagyobb részhez úgy arányoljon, mint a nagyobb rész a kisebbhez, akkor ez a közös arány az (1+gyök(5))/2. Ezt az arányt hívják az aranymetszés számának, és erre az arányra nincs értelme külön jelölést bevezetni, hiszen a standard korábbi jelölésekből (négy alapművelet és gyökvonás) kifejezhető.
Nem mondtam, hogy butaság, hanem csak tisztáztam a dolgot. Ettől persze értettem a topiknyitó kérdést, és mondtam arra is valamit.
A lényeg, hogy a pi inkább definíció, mint axióma kérdése. Az axiómák állítások, a pi=3 állítás pedig csak akkor értelmes, ha a pi-t már definiáltuk vagy ha más axiómákban is szerepel. Pl. vehetnénk két axiómát: (1) pi=3, (2) a körkerület az átmérő pi-szerese. Ezt persze rögtön egyszerűsítenénk erre: (3) a körkerület az átmérő háromszorosa. És akkor a kérdés az, hogy mi legyen a többi axióma, és ezekkel megfér-e a (3). Ez harmonizál azzal, hogy "Mit is értsünk geometrián?"
