Köszönöm a szép ábrát. Egyébként hajnalban én is küzdöttem a feladattal (éppen úton vagyok, és hosszú napom volt előtte), sőt a neten még hibás megoldást is találtam rá (egy indiai fórumon). Ha a feladatot akkor adták fel, amikor a hasonlósági és egyéb transzformációkról volt szó, akkor elfogadható egy normál tantervű osztályban, de különben én is túl nehéznek érzem.
Reggel én is azt hittem túl álmos vagyok, mert nem akart összeállni a dolog, pl. nem értettem miért kell ennyire speciális helyzetben felvenni az adatokat, bár végül is működött minden (kivéve a vektoros részt és a P illeszkedése a KF-re), de egyébként működött. Ez utóbbi viszont mellőz minden speciális esetet és látványos animációkkal sikerült (magamnak) szemléltetni a dolgot. Neked viszont csak egy statikus képet tudok mellékelni KÖSZÖNETEM jeléül. Az más kérdés, hogy mit keres egy ilyen feladat egy szerencsétlen humán tagozatos osztály házi feladatában...
Itt van egy egyszerűbb, koordinátamentes megoldás. A kiindulás ugyanaz, mint előbb.
Az EP szakasz P-n túli meghosszabbítása a külső kört egy C pontban metszi. Az AC húrhoz tartozó kerületi szög az alfa, a BC húrhoz tartozó kerületi szög a beta, ezért azt kell belátni, hogy AC=BC.
Legyen r a belső kör sugara, R a külső kör sugara. Az E középpontú R/r-szeres nagyítás a belső kört a külső körbe viszi át, a P pontot a C pontba viszi át, és az AB egyenest a külső kör egy érintőjébe viszi át. Ez azt jelenti, hogy a külső körhöz a C-ben húzott érintő párhuzamos az AB húrral, vagyis C felezi az AB körívet. Tehát AC=BC, és készen vagyunk.
A megoldásomban van pár elírás (hajnalban írtam, fáradtan), ezért újraírom:
Az EP szakasz P-n túli meghosszabbítása a külső kört egy C pontban metszi. Az AC húrhoz tartozó kerületi szög az alfa, a BC húrhoz tartozó kerületi szög a beta, ezért azt kell belátni, hogy AC=BC.
Az ábrát helyezzük el egy derékszögű koordinátarendszerben úgy, hogy a külső kör az O=(0,0) origó körüli egységnyi sugarú kör, az AB szakasz vízszintes, továbbá a belső kör az AB szakasz felett helyezkedik el a P érintési pontot leszámítva. A belső kör középpontja legyen K, a sugara legyen 0<r<1. Ekkor persze az OK vektor az OE vektor (1-r)-szerese, tehát koordinátapárokkal dolgozva K=(1-r)E. A külső kör legalsó pontja legyen F=(0,-1). A P érintési pont a K középpont alatt helyezkedik el r távolságra, amiért
P = K + rF = (1-r)E + rF.
Ez azt jelenti, hogy a P pont a EF szakasz belső pontja, mégpedig az a belső pontja, ami a szakaszt r:(1-r) arányban osztja. Tehát a C nem más, mint az F, és emiatt persze AC=AF=BF=BC.
Az EP szakasz P-n túli meghosszabbítása a külső kört egy C pontban metszi. Az AC húrhoz tartozó kerületi szög az alfa, a BC húrhoz tartozó kerületi szög a beta, ezért azt kell belátni, hogy AC=BC.
Az ábrát helyezzük el egy derékszögű koordinátarendszerben úgy, hogy a külső kör az O=(0,0) origó körüli egységnyi sugarú kör, az AB szakasz vízszintes, továbbá a belső kör az AB szakasz felett helyezkedik el a P érintési pontot leszámítva. A belső kör középpontja legyen K, a sugara legyen 0<r<1. Ekkor persze az OK vektor az OE vektor (1-r)-szerese, tehát koordinátapárokkal dolgozva E=(1-r)K. A külső kör legalsó pontja legyen F=(0,-1). A P érintési pont a K középpont alatt helyezkedik el r távolságra, amiért
P = E + rF = (1-r)K + rF.
Ez azt jelenti, hogy a P pont a KF szakasz belső pontja, mégpedig az a belső pontja, ami a szakaszt r:(1-r) arányban osztja. Tehát a C nem más, mint az F, és emiatt persze AC=AF=BF=BC.
Nem boldogulok vele: Rajzolj két olyan kört, amelyek közül az egyik az E pontban érinti a másikat. Legyen a belső kör egy P pontjához húzott érintőnek a külső körrel való metszéspontja A és B. Igazold, hogy EP felezi az AEB szöget. Először szögfelező tétel (megfordításával) próbálkoztam, de nem jutottam eredményre - persze lehet, hogy vak vagyok Ezután egy kis trükköt bevetettem a 2. ábrán látható barna kör és a szögfelező metszécpontját felhasználva megpróbáltam a kék és piros háromszögek hasonlóságát igazolni. Az egyik összejött (a gammák) de a másik, a delták egyenlőségét nem tudtam igazolni. Ki tudna segíteni valaki egy "szemüveggel"?
Oké, de ha az IJ húrról beszélsz ott pl hogy jön ki az (n-1)*r másik befogó hossz?
Szóval a logikádnak értem azt a vetületét, hogy vmi pitegoraszi megoldást kell erre megtalálni az ábrában, csak a felírt dolgok zavarosak számomra hogy és mit is gondoltál adott helyen. Azt nem mondom hogy nem gondoltad végig, mert biztos nem véletlenül írtad, de nekem nem áll össze így a kép. Bocsi!
Eredetileg is ugyanarról a húrról beszéltem, csak az nem volt világos, hogy a húrra rajzolt kör mit jelent. De mindkét esetben (ha a kis körök középpontja van a húron, vagy a kis körök érintik a húrt) arról a derékszögű háromszögről van szó, amelyiknek az átfogója a nagy kör középpontját köti össze a legszélső kis kör középpontjával, az egyik befogója párhuzamos (ha a kis körök középpontja van a húron, akkor egybeesik) a húrral, a másik befogója pedig merőleges rá.
Én nem tudom, de Fasirt szöveges megadásából akárhogy próbálom rekonstruálni, nekem ez a verzió jön ki (sárgával jelölve az általa leírt húrt), nem az F0J háromszög, e ez esetben sem értem mitől lesz R-r az átfogó? 🧐
FASIRT útmutatója erre is jó, hiszen az alfa szöget nem tartalmazza a feladat, azt ahhoz a sugárhoz/átfogóhoz definiáljuk, amelyik tetszik, tehát maradhat az eddigi. Ez esetben az egyik befogó Rcos(alfa) helyett Rcos(alfa)+r lesz, a másik befogó és az átfogó változatlan, így írhatjuk fel a Pitagorasz-tételt.
