... ha Föld és az űrhajós az út folyamán óránként rádión a saját pontos idejüket küldözgetik egymásnak, akkor valamelyikük úgy tapasztalja-e, hogy a másik ritkábban küld az indokoltnál, vagyis 'lelassult az órája'?
(PS: vigyázat, mindketten tudják, hogy a rádiójelnek idő kell az út megtételéhez, nem erről a késleltetésről van szó.)
Kérdését még háromszor(!) megismételte, de hiába ...
Ez így jó, csak vízszintesen be kellene még húzni egy vonalat, és föléírni, hogy Delta x, a függgőleges tengelyen pedig Delta t, és ez a sebesség. Amúgy pontosan erről van szó, köszi.
Olyan szép ábrákat csinálsz, én meg itt a cégben linuxon nem tudok csinálni. Megkérnélek, hogy ha ráérsz, csinálnál egy ábrát?
Szeretném megmutatni vizuálisan, hogy a sebesség az miért is tangens. Ehhez kellene csinálni egy egyszerű téridőábrát.
Vegyük fel a derékszögű x,t koordinátarendszert. Rajzoljuk bele az állónak tekintett megfigyelő világvonalát, ez egy függőleges egyenes, legyen a t tengely.
Vegyünk fel egy hozzá képest mozgó megfigyelő világvonalát, ez egy ferde egyenes, ami szöget zár be az előzővel.
A kettő közötti szög az X (így jelölöm chi-t) hiperbolikus szög.
Na már most, mi a sebesség definíció szerint? Rendszerbeli Delta x /rendszer Delta t. Ez az ábrán világosan látszik, hogy ez tangens. X szöggel szemben lévő befogó/ X melletti befogó. Ez egy tangens. Mivel X hiperbolikus szög, ez egy tangens hiperbolikusz. Azért adódik eszerint össze a sebesség a specrelben.
Mellesleg ez már Newton-Galileinél is tangens volt. Szöggel szemközti befogó/szög melletti befogó. Csak ott a szög parabolikus volt, ezért a sebesség tangens parabolikusz volt.
Amit destrukt csinált itt legutóbb, az meg a tangens hiperbolikusz helyett a szinusz hiperbolikusz. Szöggel szemközti befogót (200 fényév) osztotta az átfogóval (sajátidő). Így tangens helyett szinusz hiperbolikuszt csinált. Mellesleg ez is sebesség amúgy, csak nem hármassebesség, hanem a négyessebesség egyik komponense. :)
Két derékszögű háromszög különbsége, a rajz alapján. ;)
Tudom én, hát pont úgy számoltam ki a sárga területet. a-tól b-ig az 1/x alatti terület, plusz egyik derékszögű háromszög, mínusz másik derékszögű háromszög. És ez a két utóbbi pont kiüti egymást. :)
Itt van minden formula, amik kellhetnek. Minden a gkl-ből számolódik, és annak első és második parciális deriváltjaiból.
Ezért mondom, hogy ha adva van egy konkrét metrikád, pl. a fekete lyuk körüli téridő, akkor onnan minden egyértelműen meghatározható, nincs lötyögés, hogy akkor most anyag nélküli Weyl vagy anyaggal teli Ricci. Ezek nem tudják ugyanazt a metrikát adni.
És ezt hogyan lehet összevonni a tőle jobbra lévő gμν-vel?
Az ismételt index összegzést is jelent. De még arról nem hallottam, hogy háromszor ismétlődik.
Sehogy. Csak az azonos betűkre összegzünk. kl és μν különböző betűk.
gklRkl gμν
k,l-re szummázunk (így kapjuk R skalárt), μν meg csak ott van, adott értékekkel. Azok az R és T tenzorok adott komponenseit jelentik, nem szummázzuk össze a kl betűkkel, mert épp azért különböző betűk, hogy ezt ne tegyük.
"Az anyag határán ugyanis a görbület nem lesz nulla, hanem a végtelen távolban aszimptotikusan kisimul.
Engem az érdekelne, hogyan lehetne az üres tér görbületét átszámolni úgy, mintha az adott helyen valamilyen anyag lenne."
Sehogy!
A téridő görbületét kimerítően leíró negyedrendű Riemann tenzor 20 egymástól független komponense két különböző másodrendű szimmetrikus tenzor 10-10 független eleméből számolható ki, ezek a Ricci tenzor és a Weyl tenzor. Az anyag energiaimpulzus tenzorának lokális értékei, csak a Ricci tenzor ottani helyi értékeit határozzák (az Einstein egyenleten keresztül). A Weyl tenzor lokális értékei nem csak ezektől függenek, hanem az energiaimpulzus tenzor más helyeken felvett értékeitől is. A Ricci az elsődlegesen térfogat-változtató torzulásokat méri, a Weyl pedig az árapály jellegű deformációkat. Tehát két jellegzetesen különböző típusú görbületről van szó.
A Ricci nem tartalmaz plusz információt a (szintén másodrendű) metrikus tenzorhoz képest, minden eleme megkomponálható a metrikus tenzor elemeinek különféle másodrendű parciális deriváltjaiból.
A Weyl tenzor meghatározására viszont a Riemann geometria Bianchi azonosságai segítségével kapunk differenciálegyenleteket, abból a feltételezésből kiindulva, hogy a Riemann tenzor elemei sehol se változhatnak ugrásszerűen, vagyis a metrikus tenzor elemei mindenütt folytonosan differenciálhatóak.
Azt a két tagot együtt Einstein tenzornak nevezzük, és Gkl-lel jelöljük.
Viszont van egy rejtett összefüggés a skaláris R és Rμν között.
Nem olyan rejtett az. R=gklRkl.
Tegyük fel, hogy egy fekete lyuk környékén a kozmológiai állandó elhanyagolható.
Én mindenhol Lambda nélkül számolok. Ugyanis erre a tagra igaz az, amit az eredeti kérdésedben feltettél, az helyettesíthető anyaggal, mégpedig a sötét energiával. A Lambdás tagról nem tudhatjuk, hogy az geometriai tag és a bal oldalon van a helye, vagy anyag okozza és akkor a jobb oldalon van a helye. Ha képzeledben átviszed a Lambdát a másik oldalra, máris beétítetted az energiaimpulzus tenzorba, és anyagfajta hatásaként veszed figyelembe. Tehát én mindig Lambda nélkül számolok.
Engem az érdekelne, hogyan lehetne az üres tér görbületét átszámolni úgy, mintha az adott helyen valamilyen anyag lenne.
Sehogy. A metrika egyértelműen meghatározza, hogy ott van anyag vagy nincs. A metrikus tenzorból egyértelműen meg lehet határozni az energiaimpulzus tenzort, nincs benne semmi lötyögés. Ha az nulla, akkor nincs anyag, ha nem nulla akkor van anyag. Nem lehet ugyanazt a metrikát anyaggal és anyag nélkül is megvalósítani, nem lehet átszámolni. Talán 4-nél több dimenzióban lenne ilyen lötyögés benne, de 4-ben nincs. 3-ban pedig Weyl sem lenne.
