Nagyobb molekulákat,illetve kristályszerkezetekben levő atomokat harmonikus oszcillátorokkal helyettesítsük.És ezekre egy mátrixalgebrás leírást kell használni,amik lineárisak.Ezeket onnan kapjuk,hogy

lineáris differenciálegyenlet+határfeltételek=lineáris mátrixalgebra.

 

Kezdjük el:{} továbbra is kommutátort jelent,csak a szögletes zárójelet nem tudom előhívni a billentyűzetből.Nézzük a egydimenziós harmonikus oszcillátor Schrödinger egyenletét.

 

H=1/2m p²+1/2 m omega²x²,p=hvonási/i d/dx

{x,p}pszi=xp pszi-px pszi=xhvonás/i dpszi/dx-hvonás/i d(xpszi)/dx=

xhvonás/i dpszi/dx-hvonás/i pszi-xhvonás/i dpszi/dx=-hvonás/i pszi

vagyis csak az operátorokat leírva:

{x,p}=hvonás/i

 

vezessünk be egy távolságegységet:gyökalatt(hvonás/m omega)

ez méter mértékegységű.

és vezessünk be egy impulzusegységet:

gyökalatt(m hvonás omega)

ez kgm/s mértékegységű

 

És ezekkel az egységgel vezessük be a X,P mértékegység nélküli helykoordinátát és impulzuskoordinátát.

 

x=gyökalatt(hvonás/m omega) X

p=gyökalatt(m hvonás omega)P

 

H=p2/2m+m omega² x²/2=hvonás omega/2 (P²+X²)

 

{X,P}=i

 

a=(X+iP)/gyök2 ez az abszprpció operátor

a⁺=(X-iP)/gyök2 ez az emisszió operátor

{a,a⁺}=aa⁺-a⁺a=(X+iP)(X-iP)/2-(X-iP)(X+iP)/2=-XiP+iPX=i(PX-XP)=-i²=1

X=(a+a⁺)/gyök2

P=(a-a⁺⁾/igyök2

 

N=a⁺a

N a kvantumszámoperátor

 

 

H=hvonás omega/2 (aa⁺+a⁺a)=hvonás omega(N+1/2)

{} a kommutátor,a kvantumszámoperátor csereszabályai

{a,N}=a

{a⁺,N}=-a⁺

 

H ket(n)=E_n ket(n)

E_n=hvonás omega(n+1/2)

 

N ket(n)=n ket(n)

a⁺ ket(n)=gyökalatt(n+1) ket(n+1)

a ket(n)=gyökalatt(n) ket(n-1)

 

ha a ket(n₀)=0

 

akkor a⁺(a ket(n₀))=0

tehát n₀=0.A legkisebb sajátérték zérus,a megfelelő sajátvektor a harmonikus oszcillátor állapotát írja le.

Ezt az jellemzi,hogy a ket(0)=0.

Mivel n=0-ból a léptetéssel minden természetes számhoz eljuthatunk és mivel minden n-ből lefelé léve egyesével n₀=0-ba kell érnünk,n csak nemnegatív egész szám lehet:n=0,1,2,....

Ez E_n=n hvonás omega+1/2 hvonás omega szerint meghatározza a harmonikus lineáris oszcillátor energiaértékeit is:

E_n=hvonás omega(n+1/2),n=0,1,2,...

A ket(0) által értelmezett alapállapotból a+ alkalmazásával minden sajátvektor megkapható:

ket(n)=(n!)^-1/2(a⁺)ⁿ ket(0)

Az a⁺(n)=gyökalatt(n+1) ket(n+1) tulajdonság alapján a⁺ neve emisszióoperátor.A a⁺(n)=gyökalatt(n) ket(n-1) tulajdonság alapján a neve abszorpcióoperátor.N neve N ket(n)=n ket(n) alapján N  neve kvantumszámoperátor.E_n=hvonás omega(n+1/2) energia az E₀=hvonás omega/2 alapállapotenergián kívül hvonás omega energiakvantumokból tevődik össze.

{X,P}=i

 

P=-i d/dQ ,d/dQ=iP

a=(X+iP)/gyök2   a⁺=(X-iP)/gyök2

a=1/gyök2 (Q+d/dQ)

a⁺=1/gyök2 (Q-d/dQ)

Ekkor az alapállapot meghatározó egyenlete

a ket(0)=0 szerint

1/gyök2 (X+d/dX) bra(X)ket(0)=0

így az alapállapot X-reprezentációban a következő sajátfüggvény írja le:

bra(X)ket(0)=pi^-1/4 exp(-1/2 X²)

A többi sajátfüggvény ebből X-reprezentációban ket(n)=(n!)^-1/2 (a⁺)ⁿ ket(n) szerint képezhető:

bra(X)ket(n)=pi^-1/4(n!)^-1/22^-n/2(X-d/dX)ⁿexp(-1/2 X²)

Így adódik az ismert Hermite-polinomos-megoldás:

bra(X)ket(n)=H_n(X)exp(-1/2 X²)

Az emisszió-és abszorpcióoperátorok egyszerű matematikai szerkezete lehetővé teszi,hogy velük kompilkáltabb kifejezéseket is könnyen kiértékelhessük.Az

{a,a⁺}=1

felcserélési törvényből könnyen adódik:

{a,a⁺²}={a,a⁺}a⁺+a⁺{a,a⁺}=2a⁺

{a,(a⁺)ⁿ}=n(a⁺)^n-1

{a,szumma c_n(a⁺)ⁿ}=szumma c_n n(a⁺)^n-1=d/da⁺ szumma c_n(a⁺)ⁿ

tehát hatványsorba fejthető függvényekre

{a,f(a⁺)}=d(f(a⁺))/da⁺

 

Az a és a+ operátort bontsuk két hermitikus részre.Legyen:

a=gyökalatt(N) FI

a⁺=FI₊ gyökalatt(N)

Itt gyökalatt(N) az a hermtikus operátor,amelynek négyzete az N kvantumszámoperátor.Ekkor pedig N=a⁺a-ból(legalábbis az Nnem=0 esetre)következik,hogy

FI⁺FI=1,mert a⁺a=FI⁺gyökalatt(N)gyökalatt(N)FI=N

 

FI tehát unitéroperátor(egy operátor akkor unitér,ha A⁺=A^-1).

 

{a,a⁺}=1 alapján:

{FI,N}=0,ha Nnem=0 csereszabály.

{FI,a⁺a}=fi

FI unitér voltára hivatkozva gyakran kézenfekvő a fi=exp(-i fi) jelölést használni.

FI⁺FI=1-ből Nnem=0 esetén formálisan arra is gondolhatunk,hogy fi hermitikus.Ezért gyökalatt(N) nevezhető "amplitúdóoperátornak",fi pedig "fázisoperátornak.Ezeket az elnevezéseket az

 

a=gyökalatt(N)exp(-i fi)

a⁺=exp(i fi)gyökalatt(N)

X=1/gyök2 (a+a⁺)=1/gyök2 (gyökalatt(N)exp(-i fi)+exp(i fi)gyökalatt(N))

P=1/igyök2 (a-a⁺)=1/i gyök2  (gyökalatt(N)exp(-i fi)-exp(i fi)gyökalatt(N))

előállítások kézenfekvővé teszik.

{fi,N}=i határozatlansági reláció nem egyértelmű.Csak azt mondják,hogy

{exp(i fi),N}={exp(-i fi),N}=1 összefüggést engedik meg.

 

Mivel a⁺ ket(n)=gyökalatt(n+1) ket(n+1)

a ket(n)=gyökalatt(n) ket(n-1)

gyökalatt(N) ket(n)=gyökalatt(n) ket(n)

 

a=gyökalatt(N)FI,a⁺=FI⁺gyökalatt(N) egyenleteket figyelembe véve kapjuk:

FI⁺ ket(n)=ket(n+1)

FI ket(n)=ket(n-1)  (ha nnem=0)

Az operátorok időfüggését Heisenberg-képben a mozgásegyenletek határozzák meg:

d(a)/dt=i/hvonás {H,a}=-i omega a

d(N)/dt=i/hvonás {H,N}=0

d(FI)/dt=i/hvonás {H,FI}=-i omega FI

d(P)/dt=i/hvonás {H,P}=-omega X

d(X)/dt=i/hvonás {H,X}=P

 

A harmonikus oszcillátorok összefüggése az elektromágneses mezőre is fenn áll.Legyen A_l az l-edik sugárzási módushos tartozó vektorpotenciál,E az elektromos térerősség,B a mágneses térerősség,fi a skalárpotenciál:

használjuk a Coulomb mértéket:divA=0,és a  töltésektől mentes tiszta sugárzási tér esetét:fi=0.

 

E=-dA/dt

B=rotA

 

Véges térfogatú dobozban a sugárzási térben a vektorpotenciál csak diszkrét értékeket vehet fel,normálmódusainak teljes rendszere alakul,amik szétcsatolódnak:

A(r,t)=szumma(A_l(t)u_l(r)

 

d²A/dt²=c² nabla²A

 

hullámegyenlet külön-külön érvényes az egyes módusok vektorpotenciáljára.

 

Ha a módusok ortonormáltbázisrendszert alkotnak:

d²A_l/dt²=-omega_l²A_l

Ez a Jeans-törvény.

 

A Hamilton-operátor:

H=integrál(epszilon₀E²/2+B²/2mü₀)=

epszilon₀/2 szumma{l}(dA_l/dt)²+szumma{l}A_l²=

szumma{l}(epszilon₀(dA_l/dt)²/2+epszilon₀omega_l²A_l²/2)

 

Ha itt epszilon₀ helyébe egy m tömeget gondolunk,akkor minden tag pontosan egy harmonikus oszcillátor energiája,kifejezve az A_l koordinátával és az dA_l/dt sebességgel.Akkor viszont,p_x=mdx/dt analógiájára,pi_l=epszilon₀dA_l/dt az A_l koordinátához konjugált impulzus.

Innen már egyenes út vezet a kvantumelmélethez:az A_l(t) és pi_l(t) klasszikus mennyiségek helyett vezessük be A_l és pi_l operátorokat,amelyek kielégítik a

{pi_l,A_l}=hvonás/i I.

Itt {} a kommutátor,míg I az egységtenzor.

felcserélési relációt.

H=szumma{l}(pi_l²/(2 epszilon₀)+epszilon₀omega_l²A_l²/2)=

szumma{l}hvonás omega_l(a_l⁺a_l+1/2),ahol bevezettük az l-edik módus

a_l=gyökalatt(epszilon₀ omega/2hvonás)(A_l+i pi_l/(epszilon₀omega_l))

eltüntető operátort és

a_l⁺=gyökalatt(epszilon₀ omega/2hvonás)(A_l-i pi_l/(epszilon₀omega_l))

keltő operátort,amelyek felcserélési relációja:{a_l,a_l⁺}=1

 

E_n1,n2,...=szumma{l}(hvonás omega_l(n_l+1/2))

az l-edik módusban n_l foton található;ezek energiájából tevődik össze a szabad elektromágneses mező energiája.

 

Az a_l hatására egy foton eltünik,a_l⁺ hatására pedig keletkezik.

Vagyis a fotonok az elektromágneses mező gerjesztett állapotai. Vagyis csak az elektromágneses mező aminek fizikai realitása van,a foton pedig ennek energiaállapota ,amit megszemélyesítve részecskének.De más elemi részecskék is mezőknek a gerjesztett állapota.Például a pion⁺=müon⁺+müoneutrino reakcióban nem az történik,hogy a pion szétszakad müonra és neutrinora.Mert a pionban a bomlás előtt nem volt müon és neutrino.Hanem a piont a bomlás pillanatában egy a eltünető operátor(abszorpcióoperátor) eltünteti,és közvetlenül utána a⁺ keltő operátorok(emisszióoperátor) kelti őket.A kvantumtérelmélet alapgondolata az,hogy a részecskeszám nem állandó,részecskék keletkezhetnek és eltünhetnek.