Szia Auréliusz!

 

Az Eukideszi geometriában,akkor ortogonálisak a vektorok egymásra,ha egymással kilencven fokot zárnak be egymással.Ilyenkor ugyanis a skalárszorzatuk nulla.Más terknél,például a Hilbert-térnél ugyanez az ortogonalitás már csak azt jelentihogy skalárszorzatuk nulla,ugyanis ezeket nem lehet geometriailag ábrázolni,nincs értelme a vektorok közötti hajlásszögnek.

"mátrix adjungáltjának képterének ortogonális kiegészítő altere." Ezt sajnos nem ismerem.

"Ez így teljesen érthető, de ezek szerint van olyan tér, amely nem euklideszi, hiszen minden elképzelésemet kimerítette a térrel kapcsolatban?"

Igen.Például a Hilbert-tér,aminek a vektorai,a kvantumállapotok állapotvektorai.Ez egy végtelen dimenziós tér.A speciális relativitáselméletre illeszkedik a Minkovszki geometria,ami négydimenziós hiperbolikus geometria.Ez a különleges geometria adja a speciáls relativitás elmélet meghökkentő sajátságait.Az Euklideszi geometriát szokás cirkuláris geometriának nevezni,mert egy koordinátarendszer origójából huzzot azonos nagyságú vektorok egy körön helyezkednek el.(sin2(fi)+cos2(fi)=1)

Míg a hiperbolikus geometriában a koordinátarendszer origójából húzott azonos nagyságú vektorok egy hiperbolán heylezkednek el.

(ch2(fi)-sh(fi)=1)

A tér ilyen általános értelemben azt jelenti,hogy bizonyos vektorokra olyan azonosságok teljesülnek,amik hasonlítanak az Euklideszi(közönséges értelemben vett tér)-geometria vektoraihoz,de lehetnek eltérések.

"Mi az hogy balszorozva? Talán balról szorozva?"Az operátorok fontos tuljadonsága,hogy nem mindegy,hogy egy vektorral melyik irányból szorozzuk.Illetve,ha több operátort szorzunk össze,akkor fontos a sorrend,mert eltérő eredményeket kaphatunk.(innen ered a kvantummechanika

px-xp=hvonás/i I összefüggése.Ez azért igaz,mert p és x operátorok,és az operátoroknál fontos a sorrend nem felcserélhetők.Ha p és x vektor lenne akkor ennek az egyenletnek nullát kell adni,mert a vektorok skalárszorzata független a vektorok szorzási sorrendjétől.) 

Emiatt ha egy vektort jobbról szorzunk egy operátorral,akkor más értéket kaphatunk,mintha balról szoroznánk.Így megkülönböztetik a mátrixokkal való balról és jobbról való szorzását.Ha jobbról szorozzuk a mátrixot egy vektorral,akkor azt a vektort átvihetjük balra,de akkor a mátrixot transzponálni kell.Vannak olyan mátrixok amik megegyeznek a transzponáltjukkal,ezek a szimmetrikus mátrixok.A szimmetrikus mátrixoknál a baloldali és a jobboldali szorzás ugyanazt az előjelt adja,vagyis mindegy hogy melyik oldalról szorozzuk egy vektorral.

"És hogyan állapíthatjuk meg akkor, hogy egy 3X3-as mátrix magterében benne van egy vektor?"Sajnos erről nem tanultam.Nem tudom,hogy mi az a magtér.A mag kifejezésről hallottam csoportelméleten.De nem nagyon állt össze a kép.

"És ha esetleg téged is érdekelne egy picit a kéthullámkeverés vagy a fotorefrakció, akkor állok elébe."

Igen,érdekelne!