Aurora11 Creative Commons License 2009.01.14 0 0 314

Szia Auréliusz!

 

Van egy olyan speciális relativitáselméleti összefüggés:

m02c4=E2-p2c2.Ez az ami a fénysebesség közelében is érvényes.Ami új sajátság az,hogy az energiát nem bontja szét mozgási és potenciális energiára,mindig a teljes energia számít.A nemraltivisztikus Schördinger-egyenlet egy olyan összefüggés,ami stacionárius esetben:E pszi=p2/2m pszi+V pszi,szóval nemrelativisztikus.Persze a megfelelő mennyiségek operátorok,például a p=hvonás/i nabla  differenciáloperátor.Dirac az m02c4=E2-p2c2 egyenletet követelte meg a Schrödinger-egyenletben,persze az operátorokra.De mivel az energia négyzeten van,ezért a gyökvonás itán lesz egy pozitív és egy negatív előjelű megoldás.E=+ vagy - gyökalatt(p2c2+m0c4).A negatív előjelű megoldást is el kell fogadni,hogy a Dirac-egyenlet mükődjön,de ezek a megoldások csak a Compton-hullámhosszú elektroállapotoknál jelennek meg.Ilyen energián zajlik le a párkeltés is.Dirac bevezette a pozitív elektron(pozitron) fogalmát,ami a negatív energiát hordozza.És a pozitív elektronokból álló tenger,amit Pauli elv stabilizál,éppúgy épül fel a tenger a pozitronokból,mint ahogy az atomok elektronfelhői az elektronokból.Az elektronnak azért kell nagy energiájúnak lennie,hogy pozitron keletkezzen,mert csak így tudja felgerjeszteni a pozitront a tengeréből,és ott egy lyukat hagyva vissza.Ehez nagy energiára van szükség,mert a pozitron a tengerében sokkal stabilabb állapotban van(alapállaptoban),mint azon kívűl.Ez a folyamat egyébként a párkeltés.Aztán a pozitron visszaesik találkozik egy elektronnal és annihilációnak felel meg(ez egybeesik azzal a folyamattal,hogy a pozitron visszaesik a tengerébe,betömve a lyukat).A Dirac-mátrixok annak eredményei,hogy így tudta őtletesen gyökvonás elvégezni.Mégis ebből az elméletből automatikusan kijön a spin elmélete,úgyis azokhoz ezeknek kétdimenziós változata,a Pauli-mátrix tartozik.Gyökalatt(alfa2+béta2)=alfa+béta.Ez a skalárok terén nem igaz,de az operátorok(amik reprezentációja a mátrix) lehetséges.Emeljük négyzetre.

(alfa+béta)2=alfa2+béta2+béta alfa+béta alfa.Szóval a gyökalatt(alfa2+béta2)=alfa+béta akkor igaz,ha béta alfa=- alfa béta.Ezek antikommutátora nulla,vagyis antikommutálnak.Vannak operátork,amik kommutálnak.azokra az igaz,hogy alfa béta=béta alfa.És vannak olyanok,amik se nem antikommutálnak,se nem kommutálnak.Erre példa az x-irányú impulzus,és az x-koordinátáa operátorai:

pxx-xpx=hvonás/i.Ez persze azért van,mert ilyenkor a px és x nem számok,hanem operátorok,és azoknál számít a sorrend.Ez azt jelenti,hogy a mátrix antiszimmetrikus.Vagyis ha felcseréljük őket is úgy szorzzuk össze őket,akkor az eredeti sorrendben szorzás minusz egyszeresét kapjuk.A mátrixok ugyanis nem felcserélhetők,ellentétben a skalárokkal.Az operátor olyasmi,mint a forgatás.Az operátorok szorzása egymás utáni elvégzésüket jelenti.Nem mindegy,hogy először lefekszel(ez is forgás) és  balra fordulsz,vagy először balra fordulsz és utána fekszel le.Két különböző álllapotba jutsz.Az operátorok vektorokra hatnak,elforgatják és megnyújtják őket.A kvantummechanmikában a mátrixos operátorok az állapotvektorokra hatnak.Persze vannak algebrai operátorok amik a hullámfüggvényekre hatnak.És vannak olyan operátorok,amik ezek keverékei(Pauli-mátrix,spinor).

Hermitikus a mátrix,ha sajátértékei valósak.Ez egy fontos valóssági feltétel,ugyanis azok a fizikai mennyiségek amiket mérni tudunk(ezek a kalsszikus mechanika hagyomás mennyisége)ezeknek az operátoroknak a sajátértékei.és ezeknek kötelező valósaknak lenni,mert a klasszikus mechanika eredményeinek teljesülnie kell.A klasszikus mechanika a kvantummechanika közelítése.De ennek ellenére mégis a klasszikus mechanika mintájára állították fel.

Tanultatok az operátorokról,és a mátrixokról?

 

Előzmény: Auréliusz (312)