A megoldásombeli hallgatólagos feltételezésre nincs szükség, ezért újraírom.

Helyezzük el a 4 bogarat a komplex számsík 4. egységgyökeibe és nevezzük át őket a megfelelő számokra. Egész pontosan úgy rendezzük el a bogarakat, hogy az i vonzza az 1-et, a -1 vonzza az i-t, a -i vonzza a (-1)-et, végül az 1 vonzza a (-i)-t. Ha f(t) jelöli az 1 bogár t pillanatbeli helyzetét, akkor a forgásszimmetria miatt i.f(t) adja meg az i bogár helyzetét ugyanebben a pillanatban. Az 1 bogár az i bogár felé igyekszik, ezért a sebessége egyirányú az i.f(t)-f(t) vektorral. Tehát f'(t)=c(t).(i-1).f(t), ahol c(t)>0. Másként szólva (log f(t))' = (i-1).c(t), vagyis f(t)=e^(i-1).C(t), ahol C(t) a c(t) egy alkalmas primitív függvénye. Mivel f(0)=1, ezért C(0)=0. A bogarak akkor találkoznak, ha van olyan T pillanat, amikor C(T)=végtelen (itt megengedjük a T=végtelen lehetőséget is). Ez azt jelenti, hogy a bogarak valóban logaritmikus spirálon mozognak, aminek ívhossza (itt használjuk, hogy C'(t)>0)

int_[0,T] |f'(t)| dt = int_[0,T] |(i-1).C'(t).e^(i-1).C(t)| dt =

|i-1| int_[0,T] C'(t).e^-C(t) dt = |i-1| {e^-C(0)-e^-C(T)} = |i-1|.

 

Összességében elmondhatjuk, hogy mindegyik bogár pontosan annyi utat tesz meg, mint a kiindulási négyzet oldala.