Akárhogy gondolkozom, nekem nem tűnik hasonlónak a forgatás és a Lotr...

 

Megpróbálom bemutatni, mennyire hasonlítanak egymásra szerkezetükben és tulajdonságaikban.

 

Az egyszerűség kedvéért maradjunk 1 térdimenziónál és válasszuk a fénysebességet egységnyinek. Ekkor minden Lorentz-trafó alakja x'=(x-vt)/(1-v²)^1/2, t'=(t-vx)/(1-v²)^1/2, ahol v a sebesség. Az A:=1/(1-v²)^1/2, B:=-v/(1-v²)^1/2 jelöléssel a transzformáció

 

x'=Ax+Bt, t'=Bx+At

 

alakba írható, ahol az A és B együtthatók kielégítik az A²-B²=1 összefüggést és A>0. Fordítva, minden ilyen alakú transzformáció Lorentz-trafó, mert ha A és B kielégíti az A²-B²=1 összefüggést és A>0, akkor található olyan -1<v<1, amivel A=1/(1-v²)^1/2 és B=-v/(1-v²)^1/2. Most vedd észre, hogy ezek a transzformációk az x²-t² másodfokú kifejezést helyben hagyják, magyarán x'²-t'²=x²-t² minden (x,t) számpárra. Valóban,

 

x'²-t'²=(Ax+Bt)²-(Bx+At)²=A²x²+2ABxt+B²t²-B²x²-2ABxt-A²t²=(A²-B²)(x²-t²)=x²-t²,

 

hiszen A²-B²=1. Fordítva, megmutatható, hogy ha egy (x,t)->(x',t') lineáris transzformáció helyben hagyja az x²-t² másodfokú kifejezést, akkor az x->-x, t->-t tükrözések esetleges alkalmazása után az egy Lorentz-trafó.

 

Most bemutatom, milyen szoros a kapcsolat az (x,y) koordinátasík szokásos forgatásaival. Minden forgatás alakja x'=cos(s)x-sin(s)y, y'=sin(s)x+cos(s)y, ahol s a forgatás szöge. Az A:=cos(s), B:=-sin(s) jelöléssel a transzformáció

 

x'=Ax+By, y'=-Bx+Ay

 

alakba írható, ahol az A és B együtthatók kielégítik az A²+B²=1 összefüggést. Fordítva, minden ilyen alakú transzformáció forgatás, mert ha Aés B kielégíti az A²+B²=1 összefüggést, akkor található olyan s, amivel A=cos(s) és B=-sin(s). Most vedd észre, hogy ezek a transzformációk az x²+y² másodfokú kifejezést helyben hagyják, magyarán x'²+y'²=x²+y² minden (x,y) számpárra. Valóban,

 

x'²+y'²=(Ax+By)²+(-Bx+Ay)²=A²x²+2ABxy+B²y²+B²x²-2ABxy+A²y²=(A²+B²)(x²+y²)=x²+y²,

 

hiszen A²+B²=1. Fordítva, megmutatható, hogy ha egy (x,y)->(x',y') lineáris transzformáció helyben hagyja az x²+y² másodfokú kifejezést, akkor az x->-x, y->-y tükrözések esetleges alkalmazása után egy forgatás.

 

Jóval tovább és mélyebben ragozhatnám, de talán a fenti leírásból kitűnik, hogy a 2-dimenziós sík szokásos forgatásai teljesen analógok az 1+1-dimenziós téridő Lorentz-transzformációival. Az is látszik, hogy ami a szokásos síknak az x²+y² másodfokú kifejezés, az az 1+1-dimenziós téridőnek az x²-t² másodfokú kifejezés. Az előbbi nem más, mint a szokásos síkon az origótól való távolság négyzete (valójában ezt szokták venni a távolság definíciójának), ezért az 1+1-dimenziós téridőn az utóbbival definiáljuk az origótól való távolság négyzetét. Igy válik geometriává a fizika, lehet beszélni események közötti távolságról stb. A geometriai apparátus (pl. a fenti x²-t² távolságfogalom) általánosításával kapjuk meg a görbült téridőket (hasonlóan ahogy a görbült felületek is mind megkaphatók az x²+y² távolságfogalom általánosításával), ami már az általános relativitáselmélet játéktere.