"Azon kívül utaltam rá, hogy nem siet, hanem késik."

A GPS holdak órái sietnének, ha nem lenne a számolóművük ezzel korrigálva.
A gravitációs blueshift miatt 45us-et sietnének, a pályamenti sebesség miatt 7-et késnének, összességében 45-38=36 usec-et sietnének. Ennyit kell kompenzálnia az elállított számlálóműnek, hogy ne csűsszanak el a földi órákhoz képest.

"nem a forrás változtatja a frekvenciáját, mert nincs is módjában, hanem a sugárzást észleled módosúlt frekvencián"

Pár dolgot világosabban kellene látnod.
1.
A forrás frekvenciája egy relatív mennyiség. Olyan mint a sebesség, attól függ, mihez képest mérjük.
Nem kell megváltoznia a forrásnak ahhoz, hogy mást mérj. Ahogy a bicikli sebességének sem kell ahhoz megváltoznia, hogy egy fához kést 20km/h legyen, egy autóhoz képest meg -40.

2.
Ez nem látvány kérdése. nem csak azért más, mert a közeledés vagy távolodás miatt doppler lép fel. Ha keresztben megy, akkor is más. Ha a közeledés miatti egyre rövidebb fény futási időt leszámolod, korrigálsz ezzel, akkor is más a frekvencia. Mindegy hogy közeledik, távolodik vagy akár keresztben halad, a frekvencia változás értéke ugyanakkora.

3.
Az, hogy ez nem valamiféle látszat, abból is nyilvánvaló, hogy egy megutaztatott óra kevesebbet mutat, ha visszahozod és ismét mellé teszed egy helyben maradónak.