De most nem a te bizonyitásodról beszéltünk. Hanem az L-S és R-S mértékek szerinti integrálról.
Ja, akkor félreértettem. Az egydimenziós Riemann- és Lebesgue-integrál kapcsolatáról a kövekezőt érdemes tudni:
(1) Ha egy függvény Riemann-integrálható egy [a,b] zárt intervallumban, akkor Lebesgue-integrálható is és a két integrál megegyezik.
(2) Egy függvény akkor és csak akkor Riemann-integrálható egy [a,b] zárt intervallumban, ha korlátos és majdnem minden pontban folytonos (magyarán a szakadási helyeinek halmaza lefedhető tetszőlegesen kicsiny összhosszúságú intervallumrendszerrel).
Ennek egyszerű következménye, hogy
(3) Rn-ben szép korlátos zárt halmazokon (pl. téglákon, sima hiperfelületeken, azok metszetein stb.) a folytonos függvények integrálhatók mind a Riemann-, mind a Lebesgue-értelemben és az integrálok megegyeznek.
Az biztos, hogy a gradiens igy is kiszámolható.
Szerintem a divergencia kiszámolásáról beszélünk itt, legalábbis a gradiensről általad írtakat nem értettem, továbbá a Gauss-Osztrogradszkij tételben divergencia térfogati integrálja szerepel, nem a gradiens térfogati integrálja.
Természetesen ha a parciális deriváltak léteznek és folytonosak, akkor a szóban forgó tételben az integrálok léteznek mind a Riemann-, mind a Lebesgue-féle értelemben és a fenti (3) pont értelmében azok megegyeznek.
