Sikerült egzakt bizonyítást találnom Gauss tételére. Ha s egy sima, kompakt tartójú függvény R³-on, akkor tekintsük az

 

(Us)(p) := int s(r) 1/|r-p| dr

 

konvolúciót, ahol dr=dxdydz a standard Lebesgue-mérték R³-on és az integrál a teljes téren értendő. Megmutatom, hogy L(Us)=-4pi.s, ahol L a Laplace-operátor. Az s-re vonatkozó feltételek egyébként jelentősen gyengíthetők.

 

Először lássuk be, hogy L(Us)=U(Ls), tehát hogy U és L felcserélhető operátorok. Ehhez elég belátni, hogy az egyes koordinátatengelyekhez tartozó D_x, D_y, D_z parciális deriválások felcserélhetők U-val, hiszen L ezek polinomja,

 

L := D_x² + D_y² + D_z² .

 

Megmutatjuk, hogy D_x felcserélhető U-val, a másik két parciális deriválásra a bizonyítás hasonló. Jelölje v az x-tengely egységvektorát és legyen x>0. Ekkor

 

(Us)(p+xv) - (Us)(p) = int s(r) 1/|r-p-vx| dr - int s(r) 1/|r-p| dr

= int s(r+vx) 1/|r-p| dr - int s(r) 1/|r-p| dr = int {s(r+vx)-s(r)} 1/|r-p| dr

= int {int_[0,x] (D_xs)(r+vt) dt} 1/|r-p| dr = int_[0,x] {int (D_xs)(r+vt) 1/|r-p| dr} dt.

 

Itt az utolsó sorban felhasználtuk Fubini tételét. Tehát

 

(Us)(p+xv) - (Us)(p) = int_[0,x] {int (D_xs)(r+vt) 1/|r-p| dr} dt.

 

A belső integrál folytonossága miatt (ami maga Lebesgue tételének és D_xs korlátosságának következménye) azt jelenti, hogy a bal oldal x szerint deriválható és a t pontban a derivált a belső integrállal egyezik meg. A t=0 értékre ez azt adja, hogy

 

D_x(Us)(p) = int (D_xs)(r) 1/|r-p| dr = U(D_xs)(p).

 

Ezzel beláttuk, hogy L(Us)=U(Ls). Most rögzítsünk egy p pontot. Legyen k>0 tetszőleges és tekintsük a B:={r:|r-p|<k} gömböt és annak határát, az S:={r:|r-p|=k} gömbfelületet. Legyen V a B komplementere. Ekkor tehát

 

L(Us)(p) = int (Ls)(r) 1/|r-p| dr = int_B (Ls)(r) 1/|r-p| dr + int_V (Ls)(r) 1/|r-p| dr.

 

Azt kívánjuk belátni, hogy a bal oldal éppen -4pi.s(p). A továbbiakban feltesszük, hogy k nullához tart, ekkor a jobb oldalon az első integrál az Ls korlátossága folytán nullához tart. Ezért elég belátnunk, hogy a második integrál limesze -4pi.s(p). A Green-formulát alkalmazzuk a V tartományra, figyelembe véve, hogy az 1/|r-p| függvényt a Laplace-operátor lenullázza:

 

int_V (Ls)(r) 1/|r-p| dr = int_S D_ns(r) 1/|r-p| dr - int_S D_n(1/|r-p|) s(r) dr,

 

ahol D_n az S felületen való kifelé irányú normálmenti deriválás. A jobb oldalon az első integrál a D_ns korlátossága folytán nullához tart. A második integrál pedig

 

int_S D_n(1/|r-p|) s(r) dr = 1/k² int_S s(r) dr,

 

aminek limesze az s folytonossága miatt 4pi.s(p). A bizonyítás kész.