Valóban világosnak látszik, hogy a transzfinit rekurzió elegendő a valós szám definíciójára.

A transzfinit rekurzió a tizedesjegyek definíciójához kell. A valós szám definíciója sokkal egyszerűbb (pl. Dedekind-szelet, vagy Cauchy-sorozat modulo nullsorozatok). Szerintem még most is kevered a definíció és a kiszámítás fogalmát. Lehet, hogy programozó vagy?

ami által a valós számokat erősen nemkonstruktív fogalomnak tekintik, ha nem lehet végesen megkonstruálni őket

Ez így rendben van, csak jelzem, hogy mást jelent a halmazelméletben megkonstruálni valamit, mint mondjuk a Peano-számelméletben megkonstruálni. A halmazelméletben az N-->{0,1} függvények halmaza (jelölése ^N{0,1}) egy nagyon konkrét dolog, kb. mint a Peano-számelméletben a 2006 vagy 2³².