Simply Red Creative Commons License 2006.06.04 0 0 274
Bocs, ha kicsit off vagyok, de ha már belekezdtem, hadd fejezzem be.
Szóval annak a bizonyítása, hogy fényszerű vektor nem lehet eleme ortogonális bázisnak, a következő.
 
Indirekt módon tegyük fel, hogy f egy fényszerű vektor, és {f, g1, g2, g3 } egy ortogonális bázis. Vegyünk most egy tetszőleges f-től lineárisan független f' fényszerű vektort. 
 
Az  f' vektort a bázisvektorok lineáris kombinációjával felírva:
 
  f' = pf + qg+ rg2 + sg3 valamely p,q,r és s valós számokkal.
 
Ekkor egyrészt vf = 0,  hiszen a vf  = pf2 + qg1f + rg2f + sg3f jobboldalának első tagja azért nulla, mert f fényszerú, a többi pedig azért, mert a feltételünk szerint a bázisvektoraink páronkánt ortogonálisak.
 
Másrészt  ff' =/= 0  a (272)-ben említett tétel miatt, miszerint két lineárisan független fényszerű vektor nem lehet ortogonális egymásra.
 
Q.E.D.

-------------------------

A (272)-ben említett tétel bizonyítása pedig az alábbi.

Legyen adva két vektorunk, egy szokásos inerciarendszer által definiált koordinátákkal megadva (x1,x2,x3,t) és (y1,y2,y3,τ). Az egyszerűseg kedvéért csak (x,t) és (y, τ) -t fogok írni, de x és y helyébe mindig  (x1,x2,x3) -at ill. (y1,y2,y3)-at, xy helyett x1y1+x2y2+x3y3-at, x2 helyett x12+x32+x32-et, y2 helyett pedig y12+y32+y32-et kell gondolni.

  1. Tegyük fel, hogy (x,t) nemzérus fényszerű vektor, vagyis t=/=0 és  x2 - t2 = 0.
  2. Tegyük fel, hogy (y,τ) nemzérus fényszerű vektor, vagyis τ=/=0 és  y2 - τ2 = 0.
  3. Tegyük fel azt is, hogy (x,t) és (y, τ) Minkowski értelemben merőlegesek egymásra, vagyis (xy-tτ) = 0.
Azt kell belátnunk, hogy van olyan λ valós szám amellyel y = λx és τ = λt.
 
Bizonyítás:
 
3. szerint  (xy)2 = (tτ)2 
 
= t2τ (mivel itt t és τ valós számok)
 
= x2y(1. és 2. alkalmazásával)
  
A Schwartz-egyenlőtlenség szerint  viszont (xy)2 <= x2y2 , és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha x és y lineárisan függők, vagyis, ha van olyan λ valós szám amellyel y = λx.
Legyen λ tehát ez a szám. Ekkor 3-ból :
 
tτ = xy = λx2  
= λt2 (1. miatt).
 
t-vel egyszerűsítve: τ = λt. Tehát (x,t) és (y, τ) valóban lineárisan függő.

Q.E.D.
 
 
Mégegyszer elnézést a kis kitérőért.
Előzmény: Simply Red (273)