Vizsgájuk tehát egy tömegpont mozgását két, azonos origójú rendszerben: vesszős és vesszőtlen, a vesszős sebessége a vesszőtlenben W, az x irányban.

A pont helye változik tehát az idő függvényében:
r=(x(t), y(t), z(t)), ha úgy tetszik: R=(t, x(t), y(t), z(t))
ill.
r'=(x'(t), y'(t), z'(t)), ha úgy tetszik: R'=(t', x'(t), y'(t), z'(t))
Felírható:
R'=L(W)*R, ahol L a Lorentz transzformáció mátrixa.
De nem írható fel: r'=L(W)*r, már csak azért sem, mert a komponensek száma nem megfelelő.
(Persze ez utóbbit fel lehetne írni mondjuk r'=l(W)*r, valamiféle l Galilei mátrix-szal.)
Mind r és r', mind R és R' persze vektorok Nevem Teve értelemben, tehát összeadhatók, számmal szorozhatók stb. pl. ha több ilyen pont mozog, egymáshoz képesti helyzetük megadható pl. különbségképzéssel (szorzás -1-gyel, összeadás) a választott koordinátarendszerben.(Persze nem a hozzájuk rögzítettben.)

 

Namost a pont sebessége:
v=(dx(t)/dt, dy(t)/dt, dz(t)/dt), ha úgy tetszik: V=(dt/dt, dx(t)/dt, dy(t)/dt, dz(t)/dt)
ill:
v'=(dx'(t')/dt', dy'(t')/dt', dz'(t')/dt'), ha úgy tetszik: V'=(dt'/dt', dx(t')/dt', dy(t')/dt', dz(t')/dt')

aholis a V-k első tagja 1.
(Ha nem lenne specrel, akkor t'=t lenne és v'=l(W)*v stimmelne, ami mutatja, hogy a v és v' vektorok, nem csak Nevem Teve értelemben, hanem abban az értelemben is, hogy ugyanúgy transzformálódnak, mint r.)

De van specrel.

 

Ekkor azonban nem írható fel, hogy v'=L(W)*v, a komponensek száma miatt, ez nem is érdekes, de, és ez a lényeg: V' sem írható fel, mint L(W)*V.
Éppen ezért V és V' nem vektorok abban az értelemben is, hogy ugyanúgy transzformálódnak, mint az R-ek.

 

Hanem.

Számítsuk ki a tömegpont sajátidejét.
dT=gyök(dt2-dx2-dy2-dz2)
ez ugyanakkora, mint
dT'=gyök(dt'2-dx'2-dy'2-dz'2), ezért itt a ' nem kell már.
Integráljuk ezt a mozgás folyamán, az origóból indulva, aholis T=0 legyen. T minden pontban ismert mindkét rendszerben, a tömegponttal történő egyes eseményekhez azonos T tartozik mindkét rendszerben. Ezért T természetesebb paraméter a mozgás megadásához, mint t ill. t':

R=(t(T), x(T), y(T), z(T))
ill.
R'=(t'(T), x'(T), y'(T), z'(T))

Definiáljuk a sebességet ennek deriváltjaként:

U=(dt/dT, dx(T)/dT, dy(T)/dT, dz(T)/dT)
ill.
U'=(dt'/dT, dx'(T)/dT, dy'(T)/dT, dz'(T)/dT)

Itt tehát a vektorok első tagja nem 1, hanem 1-nél nagyobb, ami dT definíciójából látszik: dT kisebb mindkét dt-nél.

Azonban (és ez mondandóm lényege) U'=L(W)*U, tehát ez a sebesség megfelel annak, hogy ugyanúgy transzformálódik, mint R -> R'-be.

Ez utóbbi pongyolán, de helyesen fogalmazva abból látható, hogy R'=L(W)*R -> dR'=L(W)*dR -> dR'/dT=L(W)*dR/dT -> U'=L(W)*U, mivel dT mindkét rendszerben ugyanakkora.

Más kérdés, hogy ennek mi a köze az általunk vektorként tisztelt v-hez ill. v'-höz.

 

Még egy körülmény, ami a fentieket azonos értelemben kiegészíti:

Minden trafótól elvárjuk, hogy invariáns mennyiségeket invariánsan hagyjanak. Pl. ilyen egy vektor hossza.
Az L(W) trafóval az R és R' hossza azonos, és ugyanígy azonos az U és U' hossza (Minkowski), ez utóbbi éppen =1 mindkettő.
Nem azonos azonban a V és V' hossza, ezért sem lehet V vektor.

Az impulzusvektorhoz ez úgy kapcsolódik, hogy az impulzus is úgy lesz vektor, ha nem m*dx/dt, hanem m*dx/dT képlettel definiáljuk. Ekkor az időszerű komponenens m*dt/dT alakilag, azaz:

I=m*dR/dT legyen az impulzusvektor (egyelőre).
Ennek hossza tehát megmaradó mennyiség, magától, éppen m. m tehát a I vektor hossza. 
Az első tag jelentése: Vegyünk most egy, a vesszőtlen rendszerben W állandó sebességgel haladó m tömegű pontot. Ekkor ez a tömegpont a vesszős rendszerben áll: x', y', z'=0, dt'=dT.
Ekkor az I így néz ki: (m, 0, 0, 0).

A vesszőtlen rendszerben az első tag: m*dt/dT=m/gyök(1-W2), ami kifejtve: m+m/2*W2+ ..., azaz ez az energia, így m-et nevezhetjük nyugalmi energiának, de az is látható volt, hogy m az I vektor invariáns hossza.

 

I tehát nem az impulzusvektor, ahogy előbb mondtam, hanem az energia-impulzus vektor.

 

Más kérdés, hogy külön az m*dx/dT, m*dy/dT, m*dz/dT-k megmaradnak-e, ill. milyen formában. Ez már fizika, impulzusmegmaradás. Az jön ki, hogy ennek hossza (Euklidesz) megmarad. Ebből tehát kijön az energiamegmaradás is.

 

Üdv: egy mutáns