Kedves Dubois, próbálom összerakni a fejemben, amit írtál.
A következőkre jutottam:
Példád szerint mozogjon egy részecske egy inerciarendszerben úgy, hogy v=t legyen a t1 időpontig, ahol t1<1.
Keresem a sajátidejét.
Egy adott t pillanatban a sebessége, v=t, helye x=t2/2 (ez tulképp egy esemény, annak idő és helykoordinátái)
Vegyek fel egy v-vel mozgó inerciarendszert. Ebben a Lorentz trafóval a következő adódik a részecske helyére és idejére:
t'=(t-v*x)/gyök(1-v2)
x'=(x-v*t)/gyök(1-v2).
Írhatnám: x'=0, ez azt jelenti, hogy ez az inerciarendszer együtt mozog a részecskével, t' tehát a sajátidő. Ezzt azonban x-v*t=0, amiből:
t'=(t-v2*t)/gyök(1-v2)=t*gyök(1-v2)
most jönne be, hogy v=1, azaz:
t'=t*gyök(1-t2)
dt idő alatt
dt'=dt*gyök(1-t2)
Ezt kéne integrálni.
Ki lehet hozni, hogy: t'=1/2*(arcsin(t)+t*gyök(1-t2)), mégpedig t=0 és t1 között:
t1'=1/2*arcsin(t1)+t1*gyök(1-t12),
t1=1 esetén t'1=pi/4.
Ha most fordítva képzelem, és a V sebességgel mozgó rendszerből keresem az állóbeli t időt, akkor a Lorentzet fordítva írom fel:
t=(t'+v*x')/gyök(1-v2), és kihasználom, hogy x'=0, akkor:
dt=dt'/gyök(1-v2).
Most jön, hogy v=t azaz
dt=dt'/gyök(1-t2).
Vigyázat, jobb oldalon t van, nem t', tehát nem lehet integrálni, csak a másik oldalra átvive.
Ebből viszont az jön ki, hogy t'=arcsin(t), t=0 és t1 között:
t1'=arcsin(t1)
Ez nem ugyanaz, mint az előbb. Hol a hiba? valószínű, a az első képletben elvi hiba van, már a Lorentz alkalmazásánál, valószjnű az x-et nem jogosan számoltam úgy, ahogy. Vagy egyéb hiba van. Más kérdés, hogy t1=1 esetben mindkét képlet azonos eredményt ad, de ez véletlen.
Ez az általad felírt képletet: Integral(1/Sqrt(1-t*t))dt,
Ebben a képletben t tehát az álló rendszerbeli idő, mint nálam a második esetben.
Üdv: egy mutáns
