Elvileg a "spinest" tehinthetjük az "igazi" áltrelnek, de gyakorlatilag a kísérletekben úgyse lehet a spin effektusait észlelni. Így aztán legtöbbször maradunk a szokásos megfogalmazásnál. A különbség nem olyan nagy, be kell vezetni az ún. vierbeint (négyláb) és a spin-konnexiót. Meg fel kell tenni, hogy a téridősokaság topológiája megengedi a spin bevezetését (ún. spinsokaság). Bár ha a téridő nem spinsokaság, az csak globális obstrukciót jelent, dehát ki tud globálisan mérni a téridőben? Szóval nagyon szigorú praktikus szemszögből még ez sem igazi korlátozás.

A P(N) egyébként egy principális nyaláb (a kohomológia nem kell a dolog megértéséhez). A Yang-Mills nem árt, mert a principális nyalábok lényegében a mértéktérelméletek geometriai megfogalmazása. Amik egyben a standard modell alapja. Ha ilyen principális nyalábon írod fel az áltrelt, meghökkentő hasonlóságot találhatsz a három másik kölcsönhatás mértéktérelméletével (persze vannak különbségek is).

Ez mind szép matek, szép geometria, de mondjuk csak amolyan látókör tágítás, a fizikához igazából nem nagyon kell, ha emprikusan orientáltak vagyunk. Ez egy szép megfogalmazás, és van, akinek (pl. nekem is) bevilágító erejű tud lenni. De nem mindenki ennyire "geometrizált" gondolkodású. Én mondjuk imádom ezeket :)