Hi, Híd!
Az első kérdésre legyen (n,10)=1, és alkalmazzuk a 9-szeresére a kis-Fermat tételt:

10^phi(9n) - 1 = 0 (mod 9n)

A bal oldalon egy csupa 9-esekből álló szám van (a számelmélet topic-ban is megállná a helyét):

9999 ... 9 = K * 9n

Innen 9-cel osztva: 1111 ... 1 = K * n