(Gondolom, KAK helyett KAN-t akartál írni.)

Az  SL(2,R) Iwasawa felbontásával találkoztam már, az ugyanígy néz ki csak  ott K=SU(2) helyett K=SO(2), és N-ben z helyett valós szám van. Ott ugye területtartó transzformációkról van szó, amit a felbontás forgatásra (K), egymásra merőleges irányban azonos mértékű nyújtássr illetve összenyomásra (A), valamint egy nyírásra bont (N) fel. Azt kicsit könnyebben át tudtam látni.

A hiperbolikus térrel kapcsolatos dolgokat sajnos nem értem, de az jól hangzik, hogy "3-dimenziós gömbnyalábra a 3-dimenziós hiperbolikus tér felett", mert itt legalább érzem, hogy hol helyezkedik el az én SU(2) gömböm SL(2,C)-ben.

Azt tudni vélem, hogy SO(4) kettős fedése SU(2) × SU(2), ez tehát egy olyan nyaláb, aminek a bázistere is gömb. SL(2,C) ezzel szemben SO(3,1)-nek a kettős fedése, és ez olyan nyaláb, amit írtál. Az SO(3,1) ugyebár a megszorított Lorentz-csoport, ami egy hiperbolikus tér bizonyos izometriából áll, és a mondott nyaláb bázistere is hiperbolikus tér, gondolom ennek a két dolognak van köze egymáshoz.

Ugyanakkor azt is láttam már leírva, hogy SL(2,C) az SU(2)-nek is kettős fedése. Mivel SU(2) az SO(3) kettős fedése, ezek szerint SL(2,C) az SO(3) négyes fedése. Érdekes, hogy egy Minkowski-tér  izometriacsoportjának az identitást tartalmazó komponensének a kettős fedése egy euklideszi tér izometriacsoportjának  az identitást tartalmazó komponensének a négyes fedése.