és nem is nehéz: a 2-t tartalmazó maximális ideállal vett kép az test

 

Igen, de apriori ez a test lehet F₂-nél nagyobb (akár végtelen is). Sőt, még az sem triviális, hogy a 2 nem egység a gyűrűben (amikoris a nevezett maximális ideál nem létezik). Lásd alább.

 

Így minden generátor képe 0 vagy 1, így minden elemé is.

 

Igen, de bizonyításra szorul, hogy a generátorokon vett leképezés (amit megadtál) kiterjed homomorfizmussá.

 

Itt egy bizonyítás arra, hogy valóban van homomorfizmus az általad tekintett S gyűrűből az F₂-be. Belátható (de nem triviális), hogy az S minden x eleme egyértelműen írható fel pozitív négyzetmentes számok négyzetgyökeinek egész együtthatós lineáris kombinációjaként. Ebből következik, hogy 1 nem eleme a 2S-nek (vagyis a 2 nem egység az S-ben), majd az is következik, hogy van egyetlen y elem a {0,1} halmazban, amire x² kongruens y modulo 2S. Az y-t jelöljük f(x)-szel. Belátjuk, hogy a kapott f:S->F₂ leképezés egy gyűrűhomomorfizmus. Legyen x és x' eleme S-nek. Ekkor x² = f(x) mod 2S és x'²=f(x') mod 2, amiből

 

(xx')² = x²x'² = f(x)f(x') mod 2S,

 

illetve

 

(x+x')² = x²+x'² = f(x)+f(x') mod 2S.

 

Tehát f(xx') = f(x)f(x') mod 2, ill. f(x+x') = f(x)+f(x') mod 2, és készen vagyunk.