Köszi! 

Igazából nekem elég, hogy az egész számok négyzetgyökei által generált gyűrűből van homomorfizmus F2-be, ami viszont szerintem már igaz, és nem is nehéz: a 2-t tartalmazó maximális ideállal vett kép az test, sqrt(2k) nullosztó így 0, sqrt(2k+1)-1 szintén nullosztó az sqrt(2k+1)+1 révén így szintén 0. Így minden generátor képe 0 vagy 1, így minden elemé is.

És ezzel be tudom látni, hogy egy rácssokszög oldalhossza nem lehet páratlan egész: L = sum( sqrt(dx_i^2 +dy_i^2) ). Par(L) = par( sum( dx_i^2 +dy_i^2 ) ) = par( sum dx_i + sum dy_i ) = 0, az előbbi gyűrűben. (Ezt lehet közvetlenül F2-ben, ha kihasználom hogy nem egész gyökszámok összege nem lehet egész, ami igaz, de nem akartam használni.)