Szia!

Egy érdekes feladat megoldásakor jutottam a sum_{m > 0} 1/(5*m²-5*m+1) végtelen összeghez, és ott megakadtam.

Ez volt a feladat: Határozzuk meg a következő végtelen összeget:

sum_{n > 0} zeta(2n)*F_2n/5ⁿ

ahol zeta a Riemann-zeta függvény, F(n) pedig a következő rekurzióval megadott sorozat: F₀ = 0, F₁ = 1, F_n = F_n-1 + F_n-2, minden n > 1 esetén.

Mivel a Riemann-zeta függvény Re(s) > 1 esetén felírható a következő alakban: zeta(s) = sum_{m > 0} m^-s, és n > 0 esetén 2n > 1, ezért a fenti összeg a következő kettős összeg alakú:

sum_{n > 0} ((sum_{m > 0} 1/m^2m) * F_2n/5ⁿ)

Itt felhasználtam, hogy ha ez a sor konvergens, akkor abszolút konvergens is, ezért az n-re és m-re vonatkozó összegzés felcserélhető.

Felírtam a Fibonacci-számok generátorfüggvényét: G(z) = z/(1-z-z²), majd ebből a csak páros tagokat tartalmazó sor generátorfüggvénye:

1/2*(G(z) + G(-z)) = z²/(1-3z²+z⁴), ebből a sum_{n>= 0} F_2n*zⁿ generátorfüggvény: g(z) = z/(1-3z+z²)

Ebből már adódik a belső summa: g(z/(5m²)) = sum_{n > 0} 1/m²ⁿ*F_2n/5ⁿ = 5m²*z/(25m⁴-15m²*z+z²)

Mivel ennek konvergenciasugara 5m²/2*(3-5^1/2), ami minden m > 0 esetén nagyobb 1-nél, ezért a belső összegzés z = 1 helyettesítéssel meg is van:

sum_{n > 0} 1/m²ⁿ*F_2n/5ⁿ = 5m²/(25m⁴-15m²+1)

Tehát a továbbiakban sum_{m > 0} 5m²/(25m⁴-15m²+1) végtelen összeget kell meghatározni!

Résztörtekre bontottam:

sum_{m > 0} 5m²/(25m⁴-15m²+1) = 1/2 * sum_{m > 0} (m/(5m²-5m+1) - m/(5m²+5m+1))

Mivel 5(m+1)²-5(m+1)-1 = 5m²+5m+1, ezért:

1/2 * sum_{m > 0} (m/(5m²-5m+1) - m/(5m²+5m+1)) = 1/2 sum_{m > 0} 1/(5m²-5m+1)

Ezt megoldotta a WolframAlpha, és a megoldás ismeretében megpróbáltam rájönni hogyan is bizonyítható az

1/2 sum_{m > 0} 1/(5m²-5m+1) = pi/(2*5^1/2)*tg(pi/(2*5^1/2))

Mivel nem boldogultam ezzel, rákérdeztem, és Gergő gyors válaszán meglepődtem, milyen egyszerű a megoldás. Ennyi volt a történet!