Nos, a válaszaim a saját állításaimra (nem értem különben, miért kell általam egyébként AXIÓMÁNAK nevezett tényeket magyaráznom, hiszen az axióma éppen arra való, hogy kiindulásként fogadjuk el indoklás nélkül)

1. A valós számok halmaza intervallum.
2. Két valós számról eldönthető, hogy melyik a kisebb vagy nagyobb, hacsk nem egyenlőek.
3. A valós számok racionális vagy irracionális számok lehetnek.
4. Racionális szám nem egyenlő irracionális számmal.
5. A racionális számok megszámlálhatóan végtelen sokaságúak, hiszen pl. megadható olyan (végtelen) sorozat, amelyből egyetlen racionális szám sem hiányzik.
6. Az 5. pontból következően a racionális számok pontszerűen helyezkednek el a valós számok nagyság szerinti elrendezésében.
7. A racionális számok egymáshoz végtelenül (minden határon túl) közel vannak, mert pl. két racionális szám számtani közepe is racionális szám.
8. Az irracionális számok (amelyek megszámlálhatatlanul végtelen számosságúak) a 4. pont alapján különböznek a racionálisoktól, ezért csak azok között helyezkedhetnek el.
9. Két tetszőleges különböző racionális szám közé végtelen sok irracionális szám helyezhető el.
10. A 9. pont egymáshoz végtelenül (minden határon túl) közel álló racionális számpárra is igaz.

Konklúzió: A valós számok halmaza a pontszerű racionális számokból és a közöttük elhelyekedő irracionálisszám-intervallumokból áll össze, melyek együtt minden valós számot tartalmaznak, hiány és szakadás nélkül.