Legyen adott egy m-dimenziós lineáris vektortér.

Vegyünk fel ebben a térben n független bázisvektort, ahol n<m. (Esetleg n<<m.)

A bázisvektorok se nem normáltak, se nem ortogonálisak.

És nem akarjuk lefedni a teljes teret. (Később majd elárulom, hogy ebből mi lesz. Mérési eredményekről van szó.)

 

A bázisvektorok jelölése legyen x.

Az i-edik bázisvektor

- programozó jelöléssel: x[i]

- kovariáns jelöléssel pedig: x_i

 

Az i-edik bázisvektor j-edik komponense:

x[i,j] illetve ^jx_i

 

A felső indexet előre írom, hogy a hatványkitevőtől egyértelműen meg lehessen különböztetni. (Saját találmány.)

A továbbiakban az i index mindig a bázisvektort jelöli, a j index pedig a vektor komponensét.

(Később még szükség lesz átmenetileg egy k indexre is, de gyorsan megszabadulok majd tőle.)

 

A bázisvektorokból komponálok egy tetszőleges vektort: y

Az y vektor komponensei: y[j] illetve ^jy

 

Elvileg:

^jy = ⁱa ^jx_i

másként: y[j] = ∑ a[i] * x[i,j]

 

Csakhogy a mérési eredmények soha nem teljesen pontosak. Ez vonatkozik a kompozit vektorokra és a bázisvektorokra is. Továbbá az ismert bázisvektorokon kívül lehetnek ismeretlen bázisvektorok, de ezekre nem vagyunk kíváncsiak.

Tehát:

 

y[j] = ∑ a[i] * x[i,j] + z[j]

illetve

^jy = ⁱa ^jx_i + ^jz

 

Vagyis vannak y mérési eredményeink és x etalonjaink. Keressük az arányossági tényezőket.

Regressziót fogok alkalmazni.

 

∑_j ( ^jy - ∑_i ⁱa ^jx_i )² --> minimum

Vagyis ezt parciálisan differenciálni kell aⁱ szerint, majd azt nullává tenni.

 

A teljes levezetést később majd leírom, ha valaki kíváncsi rá...

 

ⁱa [ ∑_j (^jx_i)² + ∑_j∑_k ^jx_i ^jx_k ] = ∑_j ^jy ^jx_i

Figyelem: itt ⁱa kiemelésénél felhasználtam azt, hogy ⁱa és ^ka felcserélhető.

 

N = ∑_j ^jy ^jx_i

D = ∑_j [ (^jx_i)² + ∑_k (^jx_i ^jx^k) ]

 

ⁱa = N/D

 

Hát ez lenne (szerintem) a többdimenziós regresszió formulája.