Az elliptikus görbék (kommutatív) algebrai csoportok is egyben. Ez azt jelenti, hogy olyan (kommutatív) csoportok, ahol az összeadás és az inverzképzés morfizmusok a görbén (azaz megadható az alaptest feletti polinomokkal). Ez az extra struktúra az elliptikus görbéket nagyon gazdaggá teszi, pl. egy racionális elliptikus görbe racionális pontjai egy végesen generált Abel-csoportot alkotnak, amelynek torziója csak néhányféle lehet (ismerjük a teljes listát). Egyszerűen olyan dolgokról lehet beszélni, olyan dolgokat lehet egyáltalán megkérdezni egy egy elliptikus görbe esetében, amiről más görbék esetében nem. Általában véve egy görbe beágyazható a Jacobi-varietásába, ami ugyan (kommutatív) algebrai csoport, de a dimenziója már nem 1 (kivéve az elliptikus görbe esetét, amikor a Jacobi-varietás a görbe maga).

Az elliptikus görbék diofantikus értelemben is nagyon speciálisak. Ha egy racionális görbe génusza g és van racionális pontja, akkor g=0 esetén végtelen sok racionális pontja van, g>1 esetén véges sok racionális pontja van, és g=1 esetén lehet véges vagy végtelen sok racionális pontja, de ezeket véges sok elem generálja (ahogy említettem fent). A g=1 eset az elliptikus görbe esete.