Az nem annyira varázslat, de persze nagyon zseniális. A Riemann-zeta a prímek felett Euler-szorzatra bomlik (ami tükrözi a számok egyértelmű prímfelbontását), ezért a logaritmikus deriváltja mínusz előjellel

 

-zeta'(s)/zeta(s) = sum_n Lambda(n)/n^s

 

ahol Lambda(n)=log(p), ha n a p prím hatványa, és Lambda(n)=0, ha n nem prímhatvány.

 

Ez a Dirichlet-sor elkódolja a

 

psi(x) = sum_n<=x Lambda(n)

 

számlálófüggvényt, tehát lényegében a prímek számlálófüggvényét (a prímek magasabb hatványai ritkák, a log(p) pedig egy nagyon szép súlyfüggvény).

 

A zeta'/zeta lényegében a psi(x) Mellin-transzformáltja (egyfajta Fourier-transzformáltja), és emiatt a psi(x) finom viselkedését a zeta'/zeta gyökei határozzák meg és viszont. A zeta'/zeta gyökei pedig a zeta gyökei, illetve az s=1 pont (a zeta pólusa).

 

A Riemann-sejtés azzal ekvivalens, hogy psi(x) = x + O(x^1/2.log²x).