Egy másik kérdés pedig az, hogy mi a reciprocitási-tételek számelmélet történeti jelentősége?

Erre a kérdésre nehéz röviden válaszolni, mert a számelmélet jelentős része a kvadratikus reciprocitási tételből nőtt ki. A legfontosabb irány a Langlands-program (a névadó nemrég kapott Abel-díjat), amely - elnagyoltan - az automorf L-függvények közötti kapcsolatokat próbálja megérteni. Ennek a programnak része annak bizonyítása, hogy az Artin L-függvények automorfak, amely problémának a legegyszerűbb speciális esete ekvivalens a kvadratikus reciprocitási tétellel.

Kifejtem kicsit jobban. A számelmélet egyik alapkérdése, hogy "hogyan néznek ki" a Q feletti (véges) Galois-csoportok, hiszen ezek kódolják el a Q algebrai szimmetriáit. Ezeket a Galois-csoportokat (mint minden véges csoportot) jól megragadják az irreducibilis reprezentációi, az irreducibilis reprezentációkat pedig egy speciális módon elkódolja az Artin L-függvény. Konkrétan az Artin L-függvény azt az információt tartalmazza, hogy az egyes Frobenius-elemeknek mi a karakterisztikus polinomja az adott reprezentációban, a Frobenius-elemek pedig kimerítik a Galois-csoportot (vö. Csebotarejev sűrűségi tétele). A triviális reprezentációhoz tartozó L-függvény a Riemann zeta. Azt sejtjük, hogy a többi Artin L-függvény is hasonlóan viselkedik, mint a Riemann zeta: kiterjed holomorfan a komplex síkra, kielégít egy függvényegyenletet, és a gyökök kielégítik a Riemann-sejtést. A Langlands-sejtésekből az első két állítás azonnal következne, a harmadik állítás pedig speciális esetévé válna az automorf L-függvényekre vonatkozó általános Riemann-sejtésnek.

Például legyen q egy prímszám, és tekintsük a K:=Q(sqrt{q}) kvadratikus bővítést. A kételemű Gal(K/Q)={1,c} csoportnak két reprezentációja van, mindkét reprezentáció 1-dimenziós. Az egyik a triviális reprezentáció, amikor minden elem az identitással hat, a megfelelő Artin L-függvény a Riemann zeta. A másik reprezentáció az, amikor az 1 az identitással hat, a c pedig mínusz identitással. A megfelelő Artin L-függvény automorf, mert megegyezik a (q|.) kvadratikus Dirichlet-karakter L-függvényével. Na most ez a Dirichlet-karakter periodikus mod 4q, magyarán ha p egy prímszám, akkor csak a p mod 4q maradéktól függ, hogy p kvadratikus maradék-e mod q vagy sem. Ez az állítás a kvadratikus reciprocitási tétel egy átfogalmazása! Ennek a jelenségnek az általánosítása más számtestekre (más Galois-csoportokra) folyamatos kutatások tárgya, és Langlands programjába illeszkedik. Pl. kb. 100 évvel ezelőtt sikerült megérteni ugyanezt tetszőleges (véges) kommutatív Gal(K/Q) csoportra. Ebben az esetben is 1-dimenziósak a reprezentációk, és minden Artin L-függvény egy Dirichlet-karakterből származik (ha pedig a Q alaptestet helyettesítjük egy számtesttel, akkor a Dirichlet-karakterek szerepét a Hecke-karakterek veszik át).

Bővebben olvashatsz minderről itt.