akkor nincs olyan ZFC-osztálymodell, amelyben kappa kisebb, mint V-ben, azaz Aleph-indexe kisebb.

 

Ezt rosszul írtam; egy nem-tranzitív osztálymodellben, amely nem tartalmaz minden rendszámot, ez lehet. V azonban minden lehetséges objektumot tartalmaz, kappa így, ezen a filozófiai módon lesz "igazi".

 

Egyébként pont ez az amit nem értek, hogy ha van egy végső V univerzum, akkor az miért osztály? Nem lehet, hogy mondjuk osztályok is az elemei?

 

De lehet; ilyen például a Morse-Kelley osztályelmélet, de a valódi osztályokat még tovább iterálhatjuk.

 

Ha V a végső univerzum, miért ne létezhetne {V}? Vagy {{{V}}}?

 

Az ún. univerzális halmazelméletekben az Univerzum halmaz, és ekkor általában {V} eleme V.

Ez kontraintuitív szerintem. Ráadásul ekkor vannak (mindig) kisebb osztályok, amelyek nem halmazok.

 

A minden matematikai létező feltevése nem vezet ellentmondásra?

 

 

Arra vezethet. Az elméletépítőnek azonban van egy lehetősége, éspedig korlátozni a létezést, vagy értelmezni azt. NBG-ben a kvantifikáció csak halmazokon hat, a Morse-Kelley-ben már nem, de valódi osztály nem lehet elem.

 

Hasonló a probléma V generikus bővítéseinél. Jech azt javasolja, hogy V[G]-V elemei legyenek "imagináriusok", bevezetve ezzel egy gyengébb, metafizikai létezésfogalmat, azért, hogy a mindenen kívül ne lehessen más.

 

A létezést V elméletének intuitív létezése is korlátozza. V-ben (és a valódi osztálymodellekben) vagy van elérhetetlen számosság, vagy nincs. És ha nincs, akkor csak olyasféle dolgok vannak, mint az elérhetetlen számosság, ti. azokban a ZFC-halmazmodellekben, amelyekben igaz a létezése - igazi elérhetetlen számosság nincs, hiába konzisztens esetleg.

 

Ez ellentmond a matematika gyakorlati metafizikájának, amely szerint a konzisztencia implikálja a létezést.