Az a létezés már intuitív fogalom.

A formulák elég konkrét és gyakorlatias dolgok, nem kell hozzájuk különösebb intuíció.

szerintem a halmazok nem léteznek

A matematikában az az általános hozzáállás, hogy ha egy axiómarendszerben nincs ellentmondás, akkor a benne szereplő fogalmak léteznek. Mindenképpen léteznek azon a szinten, hogy lehet róluk beszélni, egyértelmű kérdéseket feltenni és válaszokat adni stb. A halmazelmélet bevezetése szükségszerű volt a matematikában. Egyrészt konkrét problémák megkövetelték, hogy halmazokról beszéljünk (pl. mely pontokban konvergál egy Fourier-sor), másrészt a matematikusok elkezdtek halmazokban gondolkodni (vegyük pl. a bázis vagy az ideál fogalmát az algebrában, a határ fogalmát a topológiában, vagy az atlasz fogalmát a geometriában). Tehát nem az a kérdés, hogy a halmazok léteznek-e, hanem hogy miként dolgozzunk velük. A halmazelméletet nem lehet mellőzni a matematikában, mert a ma ismert eredmények és fogalmak 90%-a szervesen épül rá. Ha neadjisten ellentmondást találnánk a ZFC-ben, akkor azt gondosan korrigálnánk, de semmiképpen sem vetnénk el "filozófiai alapon".

Amikor definiáljuk a Turing-gépeket, azok matematikai fogalmak, és a precíz matematikai definícióhoz szükség van egy előző precíz Turing-gép definícióra.

A Turing-gépeket általában a halmazelmélet fogalmaival szokták definiálni, a halmazelmélet pedig nem feltételezi semmiféle Turing-gép fogalmát (Turing még csak gyerek volt, amikor a halmazelméletet már elég komolyan művelték). Persze amikor a halmazelméletről magáról teszünk fel kérdéseket (pl. van-e benne eldönthetetlen formula), akkor hasznos a Turing-gép fogalma, de ez más tészta. Amennyire én tudom, a Turing-gép a matematikusok gondolatvilágában nem szerepel első helyen. Az enyémben semmiképpen sem.