Ezzel nem is lenne bajom, ha a költészet, filozófia stb. intuitív alapjai is ugyanannyira megalapozottnak számíthatnának, mint a matematika alapjai.

Szerintem tévedésben vagy a matematika intuitív alapjait illetően. A matematika precizitását a szigorú szabályok adják, mint a sakkban. Ide lehet lépni, ide meg nem stb. A szabályokat pedig a világos és jól megragadható kérdések motiválják, pl. hány részre oszthatja 100 kör a síkot. Nem kell felépíteni nagyon precíz matematikát ahhoz, hogy ilyeneket kérdezzünk, elég ha van egy gyakorlatias elképzelésünk a benne szereplő fogalmakról, amiket aztán finomíthatunk. Tehát fordítva működik a dolog: az ilyen kérdések köré épül a matematika igény szerint.

akkor azt arra vezetjük vissza, hogy "létezik olyan formula, hogy..."

Nem arra vezetjük vissza, hanem ezt jelenti a levezethetőség definíció szerint. Nevezetesen van olyan formula, ami azt fejezi ki, hogy az axiómákból a nevezett "létezik x, hogy..." formula következik.

Hiszen mondjuk a létezik halmaz kijelentés elég hihetetlennek tűnik számomra

Nem tudom, mi a hihetetlen ezen. A mindennapi életben is beszélünk dolgok sokaságáról, összességéről, együtteséről, pl. egy bolt árukészletéről, egy iskola tanulóiról, vagy a Btk. paragrafusairól. Ezek halmazok, a naiv értelemben. Egy 8 éves gyerek nem problémázik azon, hogy az egész számok halmaza létezik vagy sem. Mert nem is kell. Elmondják neki és pillanatok alatt megérti, mit jelent a fogalom (ha figyel).