De ezekben az axiómarendszerekben vannak olyan axiómák, amelyek kimondásához szükséges a metanyelv

Nem kell hozzá a metanyelv, kimondhatod a ZFC-ben. Mint mondtam, a ZFC-t úgy kell magadévá tenned, ahogy megtanulsz járni vagy beszélni. A ZFC-t intuitívan kell elsajátítani először, utána lehet formalizálni azt is és minden mást is (a ZFC-ben).

Ugyanez a helyzet a formulák induktív meghatározásakor.

A formulákat induktívan (azaz rekurzívan) tudod definiálni a ZFC-ben. Valójában bármi, ami eszedbe jut, formalizálható a ZFC-ben, így van kitalálva. Amennyire tudjuk, a ZFC minden matematikai elmélet megragadására alkalmas. Univerzális, ezért szeretjük.