Ma általában úgy idézik a tételt, hogy ilyen - akár megszámlálható - Peano-modell nem lehet eldönthető.

Félreértés ne essék: nem arról van szó, hogy a modell elmélete eldönthetetlen - ez ugyanis pontosan a Gödel-tétel. Hanem maga a modell.

Ennek pontos leírása (Peano-modellekre!) a belinkelt Wikipediában megvan. Azzal együtt, általában a modell eldönthető, ha minden eleme definíciója felsorolható, és azok a definíciók is, amelyek a modellben nem jelölnek elemet.

A modell felsorolható, ha elemei(nek definíciója) felsorolható. És végül felsorolhatatlan, ha nincs algoritmus erre.

Az eldönthető modellek elmélete a modellelmélet mára különvált, hatalmas ága. A Studies in Logic sorozat Ershov és mások által szerkesztett egyik kötete jó bevezető ebbe.