What is more, every countable model of ZFC has a class forcing extension that is pointwise definable. Indeed, for the main contribution of this article, every countable model of Godel-Bernays set theory has a pointwise definable extension, in which every set and class is first-order definable without parameters.

 

Azt szokták Paris-modellnek nevezni, amikor minden rendszám paraméter nélkül definiálható.

Nagyon érdekes, hogy míg ZFC-modell (és NBG is) sok létezik, hogy minden halmaz benne pointwise definable, Peano-modell már korántsem, csak a sztenderd.

 

Ez, azt hiszem, igaz végtelen sok nemsztenderd Peano-modellre is, hiszen azok a formulák a ZFC-modellben vannak, és annak eldöntése, hogy aritmetikai-e egy formula, lehetséges végesen.

 

A Cohen-Shepherdson-modell V=L-modell, és így minimális is. Ehhez képest nagy meglepetés, hogy osztályforszolással minden megszámlálható ZFC-modellnek van pointwise definable kiterjesztése.

 

Mivel a kiszámításelmélet és a modellelmélet kapcsolatával sokat foglalkoztam, a forszolást valamiféle orákulumnak fogtam néha fel. Bár nem fejtem ki pontosan, hogy miért, ez a vélekedésem lényegében (egy aspektusában) helyesnek bizonyult, mivel egy definiálhatatlan(!) halmaz M-ben paraméterek nélkül definiálható lesz az osztálygenerikus kiterjesztésben.

 

Ez a módszer valamiféle orákulum, hiszen ugyanaz a halmaz le sem írható M-ben, de véges formulával definiálható a class-extension-ben.

Ez azt is jelenti, hogy bár az X halmaz, és ami a létezéséből következik, teljesen kívül marad a lehetőségeinken a ground modellben, a generikus modellben kezelhető lesz, számolhatunk vele (ha egyébként a létezése valamiért szavatolt).

 

Hangsúlyozni kell, hogy még effektív paraméterek sem szükségesek. Bár omega_1 és hasonló paraméterek teljesen elegendőek és elfogadhatók lennének.

 

Az persze tévedés - és volt már, aki félreértette -, hogy a ZFC-modell továbbra sem lesz felsorolható. Azaz nincs algoritmus arra, hogy egy adott definíció inkonzisztens-e a kiterjesztésben. Máshogyan: a definíciók felsorolhatatlanok.

 

Az számomra nem világos, hogy ha van két definíció, és feltesszük, hogy mindkettő konzisztens, azaz konkrét halmazok tartoznak a definiált halmazba, akkor eldönthető-e mindig, hogy melyik halmaz rangja magasabb? Vagy hogy az egyik eleme-e a másiknak?

 

Ez a kérdés régebben (FOM) felmerült a Paris-modellek esetében is.

 

Az a sejtésem, hogy nem: például Tennenbaum tétele (1959.) alapján ez a nemsztenderd Peano-modelleknél sem dönthető el. Ott ugyanis, ha van egy végtelenül nagy számunk (definícióval adva), akkor csak nemeffektív művelettel tudunk < szerint rendezést adni a számokon, tehát kudarcot vallunk. Miért lenne más a helyzet a megszámlálható modell definícióinak felsorolásával?

 

Fontos még látni, hogy a jól ismert L, L[A], OD és HOD jelölések mennyivel gyengébb definiálási eljárások. HOD például az öröklődően rendszám-definiálható halmazok (ZFC-ben ZFC-modell) valódi osztálya, tehát a paraméter mindig lehet rendszám.

 

-----------

 

Végül nagyon lényeges kiszámításelméleti probléma, hogy egy adott generikus M[G] definícióinak Gödel-számainak felsorolása mennyire bonyolult.

 

Ez teljesen nyitott kérdés. Különösen, ha valahogyan összefüggésbe hozzuk a ground modellbeli osztály-részbenrendezés megadásával. Ekkor a különféle konzisztencia-bizonyítások bonyolultsága is lehetővé válna, ami azt jelentené, hogy ismernénk egy hierarchiát a megkapott konzisztens formulák között: mennyire "nehéz" elérni az igazolásukat.