Minden pontját 4 koordináta határoz meg és az adott tengelyeket (mivel megtudjuk különböztetni) x,y,z,t jelöljük.

 

Igen, de nincsenek adott tengelyek. A közönséges síkon sincsenek adott tengelyek, sokféleképpen felveheted őket.

 

Az adott tengelyen mérve az egységeket "sérül a Pithagorasz-tétel".

 

A távolságokat nem tudod kiszámolni a koordinátákból, ergo a Pithagorasz-tétel sérülését sem tudod lemérni rajtuk. A távolságokat a metrikus tenzorból fejezheted ki, ez kódolja el a görbületet (ugyanezt csinálja a görbületi tenzor is, csak direktebben): http://en.wikipedia.org/wiki/Metric_tensor#Arclength_and_the_line_element

 

Az alap probléma, hogy két test hogyan mozog ezeken a kordinátákon, illetve azért mert mozog miért hatna rá erő?

 

Nem. Az alapprobléma az, hogy a geometria nyelvezettel miként definiáljuk vagy minek feleltessük meg az olyan fogalmakat, mint "inerciarendszer", "gyorsulás", "erő", amik a klasszikus fizika fogalmai. Ezeket a definíciókat kitalálta Einstein, és cseppet sem egyszerűek. A megfelelő definíciókkal a magára hagyott testek éppen azok, amik geodetikus pályát írnak le, a gyorsulás pedig lemérhető azon, hogy ezek a geodetikus pályák hogy néznek ki speciális koordinátarendszerekben. A görbület definiálható geodetikus pályák segítségével, tehát végső soron a magára hagyott testek gyorsulásának geometriai megfelelője a görbület. Tehát mondhatjuk azt, hogy a téridő görbületét a magára hagyott testek gyorsulása okozza, vagy fordítva, a magára hagyott testek gyorsulásának oka a téridő görbülete. Ezek persze csak hasonlatok: két fogalom (gyorsulás és görbület) közötti kapcsolatról van szó, amit a definíciók rögzítenek. Ez modellépítés: fizika és matek. Na most a valóságban azt is tudjuk, hogy a magára hagyott testeket tömegek tudnak gyorsítani, ezt hívjuk gravitációnak. Einstein pontos egyenletek formájában megfogalmazta, hogy a tömegek milyen görbületet határoznak meg, vagy más szóval adott görbület milyen gravitációs mezőnek felel meg. Ezek után mondhatjuk azt, hogy a gravitáció oka a görbület, de fordítva is, a görbület oka a gravitáció. Persze tesztelni kell kísérletekkel, hogy jó-e a modell, jók-e az egyenletek. Lásd http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_field_equations

 

De mindez nagyon-nagyon bonyolult, igazán csak azok értik, akik ezzel kelnek és fekszenek: az ÁR kutatói, bizonyos elméleti fizikusok és matematikai fizikusok (én egyik sem vagyok).