Írtál talán éppen ebben a topicban régebben a végesség definícióiról (pl Dedekind-végesség).

 

Lehet; a Dedekind-végesség az, amikor nincs bijekció valódi résszel. A másik végesség-fogalom az, amikor nincs bijekció omega valamely elemével.

A kettő csak az AC alatt ekvivalens, ez Cohen; készített végtelen, de Dedekind-véges halmazt ZF+~AC-modellben.

 

Meg nemrégiben említetted, hogy ZFC+~con(ZFC)-nek a modellje az valahogy azért létezhet, mert az ellentmondás levezetésének Gödel-száma nem sztenderd természetes, így "igazából nem véges".

 

Igen. Sok szempontból egyébként viselkedhet egy végtelen halmaz végesként (hipervéges halmazok, pl. van maximális elemük mindig, és ez a fogalom teszi lehetővé a nemsztenderd analízisben az integrálást).

 

Ez akkor valahol azt jelenti, hogy az omegával definiált végességfogalmunk nem jól írja le a "valóságos" végességet, és emiatt ZFC levezetésnek hisz olyan dolgokat, amik valójában nem azok?

 

A természetes számokkal definiált végességfogalom az, ami nem jól írja le.

omega más, mert elemei csak halmazok, az a végesség ugyanaz mindig. A természetes számok viszont egy PA-modell definiált elemei. A véges természetes számok omega elemeivel nem mindig esnek egybe.

 

Másrészt a Helyességi tétel (azaz a teljességi könnyű iránya) transzfinit indukcióval belátható szerintem a rendszám hosszú levezetésekre is, tehát mégsem teljesen értem, hogy a fenti dolog hogyan i lehetséges.

 

Tehát a Helyességi azt mondja ki, hogy ha Gamma|-fi, akkor Gamma|=fi. Ez a bizonyítás mindig a levezetés hossza szerinti indukcióval megy.

 

A mi esetünkben azonban nem rendszám-hosszú levezetések vannak, hanem természetes szám-hosszú levezetések. Ezeknek a levezetéseknek a rendtípusa más: bár van konklúzió, de nincs limeszrendszám bennük, hanem a nemsztenderd végtelen számoknak végtelen leszálló sorozatot alkotnak. Tehát végigmész a végeseken, és utána végtelen sok végtelenen.

Ezen a levezetésen a formulaindukció hagyományos formáját (in: Csirmaz: MatLog) alkalmazhatod, és ez elegendő. Hiszen az éppen a természetes számok szerint működik. Azt gondolod, hogy hát ez a véges formulaindukció, de nem mindig, mert nemsztenderd PA-modellen is működik (mondhatni, hipervéges formulaindukció).

 

Annyi persze igaz, hogy a teljes indukció éppen a jólrendezés a PA-modellek elemein, csakhogy nemsztenderd esetben csupán belső halmazokon.