A ZFC+Replacement2 (utóbbi minden függvényre egyszerre, ezért másodrendű) önmagában igazolja ZFC konzisztenciáját.
A Replacement2 egy olyan formula, amely minden osztályon univerzálisan kvantifikál. Ez azt jelenti, hogy minden halmazt bármely operáció halmazra képez. Hibás ezt úgy megfogalmazni, hogy "minden függvényre egyszerre", mégpedig azért, mert egy függvény definíció szerint halmaz (rendezett pároké), és akkor Separation-nel a párok második elemei definiálhatók, mint halmaz részosztálya, tehát halmazt alkotnak. Vagyis ehhez nem kell másodrendű Replacement, elég az elsőrendű (sőt, a Zermelo-rendszer).
A második kiegészítés, hogy ez a koncepció Zermelo eredménye (Fundamenta Math., 1930). Ő a Regularitási Axiómát, sőt atomokat ("urelement") használt. A Kumulatív Hierarchiát építette fel, és akkor persze nem lehet leszálló Löwenheim-Skolem-tétel, hiszen minden szintjén a KH-nak _minden_ lehetséges, halmazokra megszorított operációját vesszük.
Véleményem szerint hasonló (de nem ugyanez, ezt mindjárt kifejtem) történik, ha a Replacement ugyan elsőrendű séma, ám paraméteres definiáló formulákra is alkalmazzuk. Ezekben az esetekben a számosságok az igazi számosságok, hiszen V-ből nem hagyhatunk el elemet: minden V-beli függvény létezése biztosított, mert minden osztályt (paraméterrel) definiálunk, amit csak lehet - hiszen minden halmaz lehet paraméter.
Másodrendű esetben ahelyett, hogy külön vennénk a Replacement eseteit, osztálypredikátummal mondjuk ki. És ez erősebb: engedtük, hogy legyen valódi osztály, mint objektum, a modellben, különben nem lenne értelme az osztálypredikátum használatának.
Ha viszont valódi osztályok objektumokká válnak, akkor a kvantor hatóköre, és a paraméterezés lehetősége gazdagodik. Így már sokkal több függvényt posztulálhatunk, hiszen a paraméter bármilyen objektum lehet - így, most már, valódi osztály is. Ugyanígy, ha azt mondjuk, hogy "minden x F(x)", akkor az x-ek között kell engednünk valódi osztályt.
Zermelo tétele, hogy ha ZFC2-ben vagyunk, annak modelljei, ha még feltesszük, hogy nincs erősen elérhetetlen számosság, izomorfak az <V{kappa erősen elérhetetlen}, 'eleme'> halmazmodellel, ahol az kappa az első erősen elérhetetlen V-ben. Feltehetjük azt is, hogy vannak erősen elérhetetlenek, és ilyenkor azok benne lehetnek ZFC2 modelljeiben.
Nagyon érdekes megállapítás tehát, hogy egyfajta "gyenge kategoricitás" teljesül, mert egy felsorolhatatlan halmazelméleti formulahalmaz igazságértéke ugyanaz minden ZFC2-modellben, pl. a kontinuumhipotézis is, de valószínűleg felsorolhatatlanul sok meg nem.
A másik érdekes tény, hogy miért erősen elérhetetlen ez a számosság, mikor konzisztens, bár ZFC-ben kifejezhetetlen, hogy létezik EE alatt is alpha, V_{alpha}|=ZFC (skolemizáció).
A Kumulatív Hierarchia építése során tetszőleges fi formulával jellemezhető, azaz már meglévő struktúrájú halmazt képes R2 magasabb szinten reprodukálni - hasonló ez a Reflection Principle-höz (Lévy felismerése volt, hogy a Reflection Principle és a Replacement lényegében ekvivalensek ZF-ben. Ebből persze világos, hogy R2 akkor ZFC-modellt is tud készíteni halmazban V elméletéből, mert V-ben "igaz" ZFC).
Reguláris limeszszámosság (amely erős limesz is) azonban, mint tudjuk, a Kumulatív Hierarchia ZFC-ből felépíthető szintjein nem lehet, és R2 sem tud ilyet produkálni, mert V_{erősen elérhetetlen}-ben R2 könnyen láthatóan igazolható.
Amiatt, hogy a ZFC2 (halmaz)modelljei <V_{kappa}, 'eleme'> alakúak, úgy tűnhet, hogy valódi osztályok nincsenek absztrakt objektumként a modellben - ez, mint mondtam, nem igaz, csakhogy azok között 'eleme' reláció nincs, csak az abból definiálható 'része' reláció.
Ackermann halmazelmélete aztán az 'eleme' relációt valódi osztályok között is értelmezte - bizonyos értelemben az ő halmazelmélete ezért a ZFC2 fejlesztése.
ZFC2-ben olyannyira vannak valódi osztályobjektumok (ún. osztályrealizmus), hogy egy másik halmazelmélet, a Morse-Kelley-axiómarendszer igaz a modelljein. Azonban a Morse-Kelley osztályrealista elsőrendű elmélet, amely nem konzervatív a ZFC felett (halmazokra nézve sem - bár egyetlen tételt sem tudok, amely itt igaz, ZFC-modellben azonban független!).
Felmerült még az NBG, amely szintén osztályrealista, de konzervatív halmazokra ZFC felett (Novak, 1948). Ez egy gyengített ZFC2-nek lehetne a modellje, ahol a Comprehension-ben paraméterek csak osztályok lehetnek, a kvantifikáció csak halmazok felett engedélyezett.
Világos, hogy ha a Comprehension-t ílyen restritkív formában engedélyezzük, akkor jóval kevesebb osztályunk (közöttük halmaz) lesz; így nem P(V_{EE}, hanem Def(V_{EE}) lesz a modell. Másrészt elképzelhető, hogy metaelméleti vagy metafizikai okból a Replacement2-őt úgy korlátozzuk, hogy az operációkat defináló formulák közül letiltunk valamennyit. Ekkor NBG, de nem MK-modellt nyerünk.
NBG-re, MK-ra igaz a Löwenheim-Skolem; megszámlálható modelljeik is vannak.
Lényeges, hogy olyan modellelmélet is elképzelhető, amely nem halmazmodellt igényel. Én lehetségesnek tartom, hogy ZFC2 modellje ekkor egyszerűen a Kumulatív Hierarchia, azaz, a Regularitási Axióma alatt, a V legyen.
Ha metaelméleti módon formulák felett kvantifikálunk, lehetségesnek tartom a másodrendű, és a metaelmélet azonosítását.
