Ha rögzítve van egy nyelv ami megszámlálható, akkor ennek az összes formuláját fölsorolom. Ezután már csak az lehet a baj, ha eldönthetetlen egy adott formuláról, hogy minden véges modellben igaz-e.

 

Mintha próbálnád megérteni a rekurzíve nem felsorolható halmaz, és az eldönthetetlenség fogalmát. De rosszul: a probléma az, hogy nincs általános algoritmus arra, hogy bármely adott formula igaz-e minden véges modellben.

 

Ez pontosan azt jelenti, hogy nincs algoritmus, amely felsorolja a végesen azonosan igaz formulákat.

 

Van értelme azt kérdezni, hogy eldönthetetlen, hogy egy fi formula minden modellben igaz-e? Ezt itt úgy kell érteni, hogy plauzibilis érvelést adsz arra, hogy ez így van, vagy nincs. Ilyen plauzibilis érv lehet matematikán kívüli is, persze.

 

De itt is az a gond, mint a kontinuumhipotézisnél: (általában) nincs intuíciónk.

 

Végül vannak formulaosztályok, amelyek olyan alakúak, hogy ZFC-ben eldönthető minden elemükről, hogy érvényesek-e minden véges modellben.

 

 

 

De még ha eldönthetetlen is, attól az én felfogásom az, hogy létezik rá egy "helyes" válasz a "valóságban", csak a jelenlegi matematikai eszköztárunkkal nem tudjuk ezt felderíteni.

 

 

Először is, keversz két dolgot. Egyrészt világos, hogy a végtelenségre tett igen komoly, nemkonstruktív (nem finit) megkötések (pl. nagy számosságok, AD) kellhetnek ahhoz, hogy egy adott fi igaz-e minden véges modellen.

 

Másrészt állítod, hogy a "valóságban létezik helyes válasz", ami logikailag feltételezi, amit eddig nem tettél fel, hogy valamilyen értelemben - esetleg a téridőn kívül - létezik az összes véges modell, és így a "helyes válasz" (ez a matematikai platonizmus). Vedd észre, hogy ez ellentétben van azzal a hilbertiánus meggyőződéseddel, hogy Te csak levezetgetni szeretnél, mégpedig finit és intuitív módon, és eredményeket kapni.

 

---------------------------

 

Kétféleképpen lehetséges - most úgy tűnik - megtámogatni Téged.

Az egyik a Church-tézis valamilyen meghaladása fizikai módon (pl. kozmológiai, vagy kvantumszámítógéppel), vagy alternatív logikában, ahol nemrekurzív függvények összes értéke kiszámítható.

 

Ez egyelőre elég reménytelen.

 

A másik, hogy a logikát korlátozod. Például van olyan konstruktivizmus, amelyben nincs Gödel-tétel, és nincsenek eldönthetetlen halmazok. Ekkor például e logika aritmetikájára nem igazak a Gödel-tételek (egyik sem); minden számelméleti formula eldönthető (levezethető) a rekurzív aritmetikai Peano-típusú rendszerben. A Goldbach-sejtés is eldönthető. 

 

Ezzel azonban rendkívül intuitív tautológiákat és tételeket kell feladnod; például nem igaz, hogy Av~A, a kizárt harmadik elve, vagy nincsenek sehol sem differenciálható R->R függvények. Maga R szerkezete, topológiája is sokkal egyszerűbb.