elsoszulott, korábban azzal érveltél, hogy a véges struktúrák által felvetett problémák, mondjuk a gráfelméletiek, konstruktívabbak lehetnek, és nem igényelnek "a végtelenre tett feltevéseket".

 

Ezzel nem értettem egyet, de csak példákat mondtam; itt van azonban egy koncepcionális válasz, általános esetre.

 

Trakhtenbrot tétele (1950), hogy azok a first order formulák, amelyek minden véges modellen igazak, nem sorolhatók fel. Ez ugye nem így van végtelen esetben.

 

Mit jelent ez? Azt, hogy bármilyen gazdag Ax axiómarendszert (pl. ZFC-t) teszel is fel, mindig lesz olyan fi formula, amely

nem lesz igaz egyetlen véges modellen sem;

ezt Ax nem tudja igazolni.

Ha valahogyan mégis igazolni szeretnéd, nem tehetsz mást, mint új, kevéssé hihető kikötéseket teszel a ZFC-hez, de akkor megint lesz fi* formula, hogy..

Magyarán, van olyan igen természetes, véges modellelméleti probléma, amely nagyon nemkonstruktív, és a végtelenre tett bármilyen erős - de végesen leírható - kikötés sem lesz elég a megoldására.

 

Véleményem szerint a véges gráfok annyira általánosak, hogy gráfstruktúrákra is igaz a tétel (ezt igazolni kell - lehet véges modellelméleti struktúraosztály, hogy ez a probléma eldönthető rá ZFC-ben).

 

Végül az előbbiekből adódik, hogy a

"véges M modell|=fi"

alakú formulák között végtelen sok ZFC-független van, sőt, ZFC-t be lehet ágyazni maximális (teljes), konzisztens elméletbe, amelyben CSAK ilyen formulák vannak!