Az miért nem működik, hogy elkódolom a formulákat számokkal, majd azokat halmazokkal; ekkor az összes halmazelméleti nyelvű formulát reprezentáló halmzaz halmazt alkot. Elsőrendű formulával megfogalmazom, hogy ebből a halmazból mely elemek ZFC axiómák (tálán itt akad meg?). Ekkor van egy halmazom, amiben pontosan a ZFC axiómákat elkódoló halmazok szerepelnek és a nyel viszntjén tudok beszélni ennek véges részhalmazairól.
Minden, amit leírtál, működik. Nem akad meg a folyamat ott, hogy a halmazból melyek ZFC-axiómák, mert az axiómák rekurzív halmazt alkotnak, amely definiálható. Amit nem tudsz megcsinálni, hogy igazolod, hogy ezek körül a(z "elkódoló") halmazok körül modellt lehet kiépíteni, vagyis más halmazokat is hozzávenni, és így egy egész logikát, azon ultrafiltert lehet készíteni (lényegében Lindenbaum-algebrát).
Ha a Lindenbaum-halmazalgebra létezését igazolnád, amelyben ott vannak a ZFC-axiómákat elkódoló halmazok is, és ezen létezik ZFC-ultrafilter, akkor igazolnád, hogy a ZFC-nek van modellje. Ezt pedig nem tudod megtenni, mert ellentétben áll Gödel tételével.
Ha az axiómasémák miatt fellépő végtelen sok formulát mégsem tudom így körülírni, akkor pedig ott van a végesen axiomatizálható NBG, ami úgyis nagyon hasonlít ZFC-re (csak még több dologról lehet benne kényelmesen beszélni).
A probléma ugyanaz, NBG nem segít, mert ekvikonzisztens a ZFC-vel.
Azonban mondjuk a Morse-Kelley halmazelméletben, vagy az Ackermann-félében, vagy az új Esser-félében (1999.) ezt már esetleg megtehető. Mivel van egyszerűbb mód, pont ezt még sosem olvastam, de elképzelhető.
-----------------------------------------------
A Reflection Principle-ről még annyit, hogy "metanyelvi" tétele ZFC konzisztenciájáról felfogható másodrendű tételnek. Valójában a metaelmélet, és a másodrendű logika szorosan összefügg.
És így már a modellelméleti problémák érthetők: a Gödel-féle consis(ZFC) mondat a modellben lehet hamis, és ezért egyetlen ZFC-halmazmodell sincs a ZFC-modellben. De a Reflection mégis tétel!
Akkor milyen értelemben mondható, hogy van rá teljesség, ha nincs modellje a metatételnek? Úgy, hogy valójában a másodrendű logikában vagyunk, és a garantált modell maga a ZFC-modell, amely elméletében igazoljuk a Reflection-t. Ha ez a V Univerzum, akkor az.
A teljességi tétel tehát valódi osztályra igaz.
Gondolj bele: ~consis(ZFC) alatt is igaz, hogy nem lehet ellentmondás V-ben. Ha lenne, akkor lenne halmaz, amely F, és ~F tulajdonságú, és mindkettőnek lenne levezetése a modell elméletéből. De a levezetés véges, benne ZFC véges részével, amely azonban konzisztens a Reflection-ből!
Következik, hogy ha a V Univerzum létezik, akkor a Reflection igazolásából (a véges részek konzisztenciájára) helyesen következtetünk az egész ZFC konzisztenciájára.
Éppenséggel a másodrendű halmazelmélet modelljei maga V, vagy ha van nagy kappa számosság, akkor a Vkappa halmazmodellek is. De Löwenheim-Skolem nem lehet, hiszen az azt jelentené, hogy van másodrendű teljességi tétel halmazmodellekre, amiről az imént láttuk be, hogy nem igaz.
