Köszönöm a válaszokat.

Az miért nem működik, hogy elkódolom a formulákat számokkal, majd azokat halmazokkal; ekkor az összes halmazelméleti nyelvű formulát reprezentáló halmzaz halmazt alkot. Elsőrendű formulával megfogalmazom, hogy ebből a halmazból mely elemek ZFC axiómák (tálán itt akad meg?). Ekkor van egy halmazom, amiben pontosan a ZFC axiómákat elkódoló halmazok szerepelnek és a nyel viszntjén tudok beszélni ennek véges részhalmazairól.

Ha az axiómasémák miatt fellépő végtelen sok formulát mégsem tudom így körülírni, akkor pedig ott van a végesen axiomatizálható NBG, ami úgyis nagyon hasonlít ZFC-re (csak még több dologról lehet benne kényelmesen beszélni).