Ez nagyon érdekesnek hangzik, örülnék ha kifejtenéd. (Itt fő bajom, hogy a metanyelvi végességfogalom van "odakint", de "bent" a végesség már definiált fogalom, tehát egy véges formulasorozat belül már ZFC-beli definíció szerint kell csak hogy véges legyen)
Arról van szó, hogy a végtelen formulát halmazzal reprezentáljuk (ugyanis osztály, és az osztálynak definíció szerint van definíciója).
Veszünk egy adott definíciójú halmazt, és még kappa sok ilyen halmazt. Akkor ezeknek vehetjük a metszetét, amelynek persze lesz elsőrendű definíciója is, de nem ez a fontos, hanem hogy a metszetre úgy tekinthetünk, mint egy végtelen formulára:
egy vett halmaz {x:fi(x)} alakú, ekkor 'minden x fi(x,)' akkor éppen a fi(.) tulajdonságú halmazok összessége, ami az adott halmaz. Feltevés szerint létezik egyetlen y, hogy pont azok az x-ek vannak benne, amelyek a választott halmazban vannak.
Vigyázunk arra, hogy ne valódi osztályt kapjunk így (ez konzisztensnek látszó feltevés, pl. az Ackermann-halmazelmélet egyik axiómája, ha a paraméterek is halmazok).
Most a metszetre úgy tekinthetünk, mint egy végtelen formulára: &kappayi<kappa, ahol y helyett vehetjük a definíciókat.
Így máris kész a végtelen konjunkció, és így már reprezentáltál egy végtelen logikát (egyelőre egyetlen formulát, de a többi is így megy).
Akkor ezen a reprezentáción mindenfélét le tudsz vezetni. De ez csak egy reprezentáció.
Annyi biztos, hogy így a "végesség" "kinti" fogalmát "bentire" voltál képes transzformálni, ez azonban csak egy imitáció, valójában az "igazi", klasszikus logikában dolgoztál (hiszen a Church-tézis ezt engedi meg).
Amit viszont nyersz, hogy az összes "kinti", de jóldefiniált végességfogalom halmazelméletileg definiálható, modellezhető.
Ennek határai is vannak, pl. ha kompaktsági tételt szeretnél, akkor végtelen logikát csak nagy számosság alatt reprezentálhatsz teljes mértékben. Egy maximális, konzisztens elmélet reprezentációja egy ultrafilter, amely, ha zárt a végtelen konjunkcióra, az az ultrafilter legalább szigma-teljességét jelenti.
---------------------------------------
Ez is nagyon érdekelne. Tudsz erről valami jó tankönyvet?
Alapozó tankönyvet talán nem, de bevezető, nem könnyű cikket igen: W. Pohlers: Set Theory and Second Order Number Theory. Jók még Michael Rathjen cikkei. Ez az Ordinal Analysis, Wikipedia-oldalak is vannak róla.
Pohlers könyve
Proof theory: the first step into impredicativity
Végtelen modellelméletről a klasszikus: J. Keisler: Model Theory for Infinitary Logic. Wikipedia is jó.
Végül
Jon Barwise, Admissible Sets and Structures
Ez a végtelen logika egy fragmentuma, amelyre nem kell nagy számosság, mégis szép tételei vannak.
--------------------------------------
Na erre még inkább nagyon kíváncsi vagyok:)
Egy kicsit félreértettél: a Tükrözési Elv maga szolgáltat egy metanyelvi, rekurzív formulát, amely igazolja ZFC konzisztenciáját! Ebben az értelemben a Tükrözési a problémát megoldja.
Hasonló ez ahhoz, amikor a Peano teljes indukciós sémáját minden formulára általánosítod: teljesen elfogadható, másrészt már nem tárgynyelvi, hanem metanyelvi formula: formulák felett kvantifikál.
És ez persze egy sokkal erősebb rendszer (számelmélet) is, mint a Peano.
((A Tükrözési ilyen értelmezése látszólag ellentmondásban van a Gödel II. Nemteljességivel, de nincs gond, az ugyanis elsőrendű számelméleti formuláról (tárgynyelvi formuláról) beszél.))
