És mi lehet az oka (heurisztikusan), ha az ultraszorzat kivezet a modellosztályból?

Ezt is lehet gyakran ellenpéldával bizonyítani. Pl. ha minden modell véges az osztályban, de minden n természetes számra van legalább n méretű modell az osztályban, akkor az ultraszorzat kivezet az osztályból. Ugyanis minden n-re vegyünk egy legalább n méretű modellt, legyen ez M_n. Vegyük az M_n-ek egy nemtriviális ultraszűrő feletti ultraszorzatát, legyen ez M. Tetszőleges k-ra elsőrendű formulával kifejezhető, hogy egy modellben legalább k elem van, legyen F_k egy ilyen formula. Mivel n>k esetén F_k igaz M_n-ben, ezért F_k igaz M-ben is. Ez mutatja, hogy M végtelen, tehát a feltevés szerint nincs az osztályban.

Hasonló példákat találsz Csirmaz jegyzetében, lásd a 9. fejezetet itt: http://eprints.renyi.hu/12/