No igen, de akkor milyen igazságfogalom szerint "igaz"?

 

A modellbeli igazság az egy definiált fogalom a matematikában. Aszerint "igaz" valami a modellben.

 

Valamint az is egy önkényes választás, hogy mely modellre mondom, hogy az az "igazi" számokat írja le, és mely modell ami csupán kielégíti az axiómarendszert, de mégsem az "igazi" számokat írja le.

 

Van egy olyan lehetőség, hogy egyik sem az "igazi" számokat írja le. Attól függ, hogy az "igazi" számok kívül esnek-e a matematikán vagy sem. Ha nem esnek kívül, akkor definiálhatjuk őket, mint ZFC is teszi. A halmazelméletben a természetes számnak és a rá vonatkozó alapműveleteknek van egy definíciója, ezek alkotják a PA standard modelljét. Mondhatod persze, hogy egy definíció önkényes.

 

Kicsit olyan érzésem van, mintha az ingoványos szubjektív igazágtartalmú érvek kiküszöbölésére bevezettük volna a szigorú formális levezetős rendszert, de aztán ha nem úgy van valami ahogy szeretnénk, akkor inkább mégsem ragaszkodunk a precízen fölépített igazságfogalmunkhoz.

 

Szerintem mindig ragaszkodhatunk a halmazelméletben precízen fölépített igazságfogalmunkhoz. Egy X állításról akkor mondjuk, hogy egy axiómarendszerben tétel, ha X levezethető az axiómarendszerből. Tudjuk azt is, hogy az utóbbi ekvivalens azzal, hogy X az axiómarendszer minden modelljében igaz. Egyszerűen arról van szó, hogy az axiomatikus módszer nem alkalmas a dolgok definiálására, a nemteljesség miatt. A definícióhoz más utat kell választani, pl. ZFC-ben megmondod, hogy mit jelent a 3-as szám vagy a szorzás, tehát definiálod őket mint halmazokat. A modellek az axiómarendszerről tudnak érdekes dolgokat mondani, nem pedig egy konkrét struktúráról, ami az axiómákat inspirálta. Úgy is mondhatnánk, hogy az axiómák használata az első próbálkozás volt a matematika precízzé tételére, a halmazelméletre való alapozás pedig a második. Persze a halmazelméletet is axiomatikusan építjük fel, de amint a halmazok intuitív fogalmában megbízunk, minden más precízen definiálható, beleértve az igazság fogalmát is. Ennek nem mond ellent az, hogy a halmazelmélet axiómáinak is sokféle modellje van, és ezek között nincs standard modell, hogy is lehetne.

 

Ha az igazságot a szokásos "kétvonalas" definícióval definiáljuk

 

Nem tudom, mi a szokásos "kétvonalas" definíció. Én a Csirmaz-jegyzetben definiált igazságfogalomról beszélek.

 

Már régebben meg szerettem volna kérdezni: mi az omega-konzisztenciája ZFC-nek? 

 

A ZFC omega-inkonzisztenciája azt jelenti, hogy ha minden n eleme omega esetén ZFC-ben tétel a P(n) állítás, akkor nem lehet tétel az, hogy "van n eleme omega, hogy P(n) hamis". A furcsaság az, hogy az omega-inkonzisztenciából nem feltétlenül következik az inkonzisztencia, hiszen előfordulhat, hogy a "minden n eleme omega: P(n)" állítás nem tétel annak ellenére, hogy P(0), P(1), P(2), stb. mindegyike az.