Másrészt ilyenkor mindig alkalmazhatunk AC-t (szükségtelenül), akkor viszont a függvény sosem(!) lesz definiált. Tehát Replacement nélkül mindig van halmaz-értékkészletű függény, de éppen a konstruktivitást veszítjük el.

 

Ez úgy hangzik, mintha a séma és az axióma helyettesíthetné egymást valamilyen értelemben, ami nem igaz.

 

Mint már említettem, világos az is, hogy van összesség, amely halmaz ZFC-ben, de nem ZC-ben. Márcsak ezért sem lehetnek ekvivalensek, semmilyen absztrakt (nemkonstruktív) értelemben sem.

 

Az viszont igaz, és ezt akartam mondani, hogy ha ZFC-modellben Replacement-tel f függvényt definiálunk, amelynek értékkészlete persze halmaz, akkor f értelmezési tartományához tudunk rendelni AC-vel más halmazokat. Például vesszük D_f egy elemét, unióját egy akármilyen halmazzal, és kiválasztunk egy elemet az így kapott halmazból. Az AC-vel nyert R_f szintén halmaz lesz, és ez a lényeg.

 

 

Végül, valamivel értelmesebb téma. Ismert, hogy van megszámlálható Peano-modell. Jólrendezzük most a megszámlálható halmazokat, és vegyük a minimális Peano-modellt. Így AC-vel tényleg definiáltunk egy halmazt. Igaz ugyan, hogy a definíció semmitmondó.

 

Így az AC-vel konstruktívak tudtunk lenni. Ez a megoldás egyébként ismert.