Tájékoztatásul mondom el, hogy ma már olyan first order logika is van, amelyben a levezetések egy nemsztenderd Peano-modell véges, és végtelenül nagy számaival Gödel-számozhatók. Ebben a speciális infinitary logic-ban következmény-reláció (algebrai lezárási operátor), és vele modellemélet van teljességi tétellel, és egyéb szokásos tételekkel (Beth-tétel, például).
Ebben a végtelen logikában csak a levezetések (speciális alakú formulák) lehetnek végtelenek. Minden más formula véges. Nem tudom, hogy mennyire lehet általánosítani. Azt tudom, hogy független axiomatizáció lehetséges; más infinitary logikáknál ez pl. a kontinuumhipotézishez, a Vaught-sejtéshez kötött (Lomega1, omega esetben).
Ez egyébként annak idején engem meglepett, Gerg Hjorth egy cikkét olvastam először erről: egy infinitary elméletet nem feltétlenül axiomatizálhatunk egymástól független formulákkal!
Ennek, azt sejtem, kombinatorikai okai is vannak.
