Nautilus!

Ehhez mit szólsz, nem igazán értettem korábban, hogy ezt elfogadod-e, vagy csak az a problémád, hogy itt az omega-konzisztenciáról van szó.

 

"az a metanyelvi mondat, hogy az 'aritemtika konzisztenciáját nem vezethetjük le az aritmetikában' nem igaz, mert egyszerűen nem tudunk meggyőződni arról, hogy amennyiben Consis-t nem tudjuk levezetni, akkor azzal egyúttal a konzisztenciát nem tudjuk levezetni."

 

A mondat első állítása nem igaz, mert a Gödel-i Consis pontosan akkor igaz a sztenderd modellen, ha a Peano-aritmetika konzisztens, és ha a Consis-t le tudjuk vezetni, akkor a PA ellentmondásos.

 

De Te eleve azzal a feltételezéssel élsz, hogy a PA konzisztens, akkor Gödel tétele miatt igazad van, de Feferman konstrukciója szerint nincs igazad, ám akkor is igaz, hogy PA-ban eldönthetetlen a saját konzisztenciája, metanyelvi értelemben. 

Ekkor tehát igazad van: nincs olyan mondat, amely ha levezethető PA-ban, akkor a PA konzisztens (ez abból következik, hogy ellentmondásból minden következik).

 

A konzisztencia eldöntése az aritmetikában együtt jár a tételek osztályának eldönthetetlenségével. A parakonzisztens logikák egyik motivációja az volt, hogy az abszolút konzisztenciát igazolják, miközben az aritmetika eldönthetetlen. Van ilyen rendszer: a Predikátumkalkulus konzisztenciája abszolút (finit) módon igazolható, de a PK nem dönthető el.

 

A mondat második állítása hibás.

 

Arról meg tudunk győződni, hogy ha a Consis-t nem tudjuk levezetni, akkor a (metanyelvi) konzisztenciát nem tudjuk levezetni, de a PA konzisztens. Ez Gödel tétele.

Arról nem tudunk meggyőződni, hogy a Consis-t nem tudjuk levezetni (ha tényleg nincs levezetés). Ekkor a metanyelvi konzisztenciát sem tudjuk, vagyis a PA konzisztenciája ekkor eldönthetetlen.

 

Mivel a mondatok hibásak, az implikációval nem foglalkoztam.