Fölteszem, ugrásáhak hossza arányos a testméretével, pl. azzal egyenlő, vagy annak valahanyadrésze, vagy valahányszorosa. 

 

Ez a feltevés hibás. Az útról nézve a veréb nem tud kisebbet vagy nagyobbat ugrani csak azért, mert gyorsabban vagy lassabban ugrál. Nem a veréb izomzata változik (amitől az ugrás nagysága függ), hanem a veréb hossza.

 

Egyik igaz, másik nem. Amelyik nem igaz, miért nem? Esetleg egyik sem igaz, esetleg mindkettő?  

 

Egyik sem igaz. Mint már mondtam, az útról nézve a veréb ugyan egyre kisebb, de az ugrásainak mérete ugyanakkora marad. Ha a veréb gyorsabban ugrál, gyorsabban ér oda, de ugyanannyi ugrással (pontosan ahogy várnánk). A veréb szemszögéből nézve a két lókupac távolsága ugyan csökken, de az ő ugrásainak mérete is ugyanakkora arányban csökken, hiszen mindkét fajta távolság az úthoz van rögzítve, ami mozog a verébhez képest. Ha a veréb gyorsabban ugrál, a veréb a maga szemszögéből nézve is gyorsabban ér oda, de ugyanannyi ugrással. A helyzetet bonyolítja, hogy ha a veréb a saját szemszögéből x-szeresére szaporítja az ugrásainak ütemét, akkor az útról nézve ez a frekvencia nem x-szeresére változik.

 

Tekintsünk egy példát. A sebesség egysége legyen a fénysebesség, az időé a másodperc, a távolságé a fénymásodperc (azaz kb. 300ezer km). Tegyük fel, hogy a veréb 1/3000-et tud ugrani (azaz kb. 100 km-t) és a 60 egységnyi távolságot kívánja megtenni. Ehhez persze 180000 ugrásra lesz szüksége.

 

1. Ha 3/5 sebességgel teszi ezt, akkor 60/(3/5)=100 másodpercig ugrál, vagyis másodpercenként 180000/100=1800-at fog ugrani - persze csak az útról nézve. A veréb szemszögéből nézve a sebessége továbbra is 3/5, a megteendő távolság 60*(4/5)=48, de csak (1/3000)*(4/5)=1/3750-et tud ugrani, tehát 48/(3/5)=80 másodpercig ugrál (ezt mondjuk úgy, hogy a veréb ideje 4/5-szeresre lassult az úthoz képest), vagyis a veréb szemszögéből ő másodpercenként 180000/80=2250-et fog ugrani (persze 2250/3750 visszaadja a 3/5 sebességet).

 

2. Ha 4/5 sebességgel teszi ezt, akkor 60/(4/5)=75 másodpercig ugrál, vagyis másodpercenként 180000/75=2400-at fog ugrani - persze csak az útról nézve. A veréb szemszögéből nézve a sebessége továbbra is 4/5, a megteendő távolság 60*(3/5)=36, de csak (1/3000)*(3/5)=1/5000-et tud ugrani, tehát 36/(4/5)=45 másodpercig ugrál (ezt mondjuk úgy, hogy a veréb ideje 3/5-szeresre lassult az úthoz képest), vagyis a veréb szemszögéből ő másodpercenként 180000/45=4000-et fog ugrani (persze 4000/5000 visszaadja a 4/5 sebességet).

 

3. Tanulság: a példánkban a verébnek a maga szemszögéből nézve másodpercenként 2250-et kell ugrani a 3/5 sebesség eléréséhez, ellenben 4000-et kell ugrani a 4/5 sebesség eléréséhez. A 4000 persze majdnem duplája a 2250-nek, míg a 4/5 messze nem duplája a 3/5-nek. Az eltérés oka, hogy a veréb hiába ugrál gyorsabban, közben az ugrásainak nagysága összemegy (de csak az ő szemszögéből!), ezért arányosan csak kisebb sebességnövelésre képes. Ez utóbbi persze várható, hiszen ha mindig meg tudná duplázni a sebességét, akkor könnyedén túlszárnyalhatná a fénysebességet, ami nem megy.