Csak itt a távolság egy vektornak a hossza. Viszont a koordináták maguk vektorok, és emiatt a metrikus tenzornak egy kétindexes tenzornak kell lennie, vagyis mátrix reprezentálja. Különben a koordinavektorok skaláris szorzata nem müködne.

r=g_ij x_ix_j

ez az xi és xj skaláris szorzata. Ez 3D-ben Euklideszi metrikában

r=x²+y²+z²

Ekkor a metrikus tenzor 3D-s diagonláis mátrix, aminek diagonális elemei:

g₁₁=1,g₂₂=1,g₃₃=1

 

A 4D-s Minkovsky térben:

r=c²t²-x²-y²-z²

Ekkor a metrikus tenzor 4D.s diagonális mátrix, aminek diagonális elemei:

g₀₀=1,g₁₁=-1,g₂₂=-1,g₃₃=-1

 

Gyorsuló vonatkoztatási rendszerekben a metrikus tenzor sokkal bonyolultabb, és helyfüggő lehet(ez jelenti azt, hogy lokális), általában nem diagonális mátrix reprezentálja.

 

Szóval a metrikus tenzor nem függvény, hanem tenzor, mert mátrix-szal reprezentálható.