Tehát a két oldalon nem ugyanaz a függvény van ugyanazzal a Φ mennyiségjelöléssel jelölve, és ez a különbség a d és ∂ különböző differenciáljellel van csak érzékeltetve. Viszont ez nem ezért különböző, hanem azért, mert az egyik csak egy változó függvénye. Azonban más esetben lehetne ez is több változó függvénye, és akkor oda is ∂ jelet kellene tenni. Szóval ez a mutatott szintaktika (egy könyvből vettem) nem igazán jó, legfeljebb szerencsésen egyszerű az eset speciálissága miatt.
A baloldalon Φ szubsztanciális, a jobboldalon pedig lokális. Szóval nem ugyanaz a függvény. Megtévesztő mindkettőt Φ-vel jelölni, de más szempontból elmegy. A baloldalon az egy kiszemelt anyagdarabka pontjára (ami egy pályagörbén halad, amit t-vel paraméterezünk) Φ(t) csak a t idő függvénye, a jobboldalon Φ(t, x, y, ...) pedig a vonatkoztatási rendszer lokális helyét meghatározó t, x, y ,... mennyiségek függvénye. Mint függvény a kettő nem nevezhető ugyanannak. Viszont az értékük egyezik, azaz egybeesik, és így azzal ugyanazt jelölik meg, csak más szemszögből. A felírásokban gyakran nem a függvény neve szerepel, hanem az általa megadott mennyiség elnevezése, ami itt Φ.
Differenciálok jelölésére a d, ∂, δ előjelek (legutolsó a variációs differenciál) egyfelől lényegében ugyanazt, vagyis az infinitezimálisan kicsiny mértéket jelentik, másfelől pedig utalnak arra, hogy:
Annak ellenére, hogy bizonyos egyszerű esetekben úgy tűnhet, felfoghatjuk valamiféle tört egyszerűsítésnek, tulajdonképpen mégsem az, és a legjobb, ha sosem úgy tekintjük. Már a parciálisos verziónál is látható (lenne, ha kiírtam volna az indexeket, és az összes tagot), hogy ha tört egyszerűsítésnek vennénk, akkor a jobboldal többszörösét kapnánk végül, ami helytelen lenne:
Egy igen fontos észrevétel a gravitáló anyag tekintetében:
LEM = -FikFik = -FikFlmgilgkm
Fik = ∂iAk - ∂kAi
Az EH-hatásban ∂L/∂gik szerepel, és ez vezet az energia-impulzus tenzorhoz.
A hagyományos Lagrange-formalizmusban pedig ∂iAm∂L/∂(∂kAm) - gikL
A Lagrange-sűrűség skalárképzős kifejezéséből nyilván már csak a forma miatt is szükségképpen szinte ugyanazt szolgáltatja a két módszer. (utóbbinál szimmetrizálás is kell még közben, ami egyébként nem szép, hogy kell, egy feketebárány dolog...) Ez eltévelyedésre ad okot. Ebből naívan könnyen azt lehet gondolni, hogy helye van a görbült téridős gravitációelméletben az elektromágneses mezőnek (kfiktív), ill. annak (fiktív) energia-impulzus tenzorának.
A gravitációelmélet gravitáló anyaga a pályán mozgó klasszikus pontszerű normál anyag, csak sűrűségeloszlásban. Se anyagi feszültségek (se nyíró, se nyomás) nem illik bele az elméletbe. Se pedig az EM-mező.
"... a kovariáns deriválás indexe, ha megnézzük a teljes felírását, abban látható, hogy húzogatható fel-le egyszerűen egy metrikus tenzorral: "
#Igazából a kovariáns deriválás indexe is csak kívülről húzódik fel. Eredetileg mindig lent van, ahogy a Christoffel-szimbólumoké. Utóbbi alkalmazása olyan, hogy szinte mindig felhúzottan kell a nemszimmetrikus indexe, ezért szintaktikai egyszerűsítés végett a felhúzó inverz metrikus tenzort nem írjuk ki, csak feltesszük ezt az indexét.
Hasonló a gik∂k = gik∂/∂xk --> ∂i = ∂/∂xi jelölés is.
Beledefiniáljuk a felhúzó inverz metrikus tenzort.
Ebben pl. a δxi;k eredetileg δxi;k volt, csak a kovariáns deriválás indexe, ha megnézzük a teljes felírását, abban látható, hogy húzogatható fel-le egyszerűen egy metrikus tenzorral:
δxi;k = glkδxi;l
Viszont az i index nem. Ez azért van így, mert ezek a kifejezések teljes felírásukban tele vannak a Christoffel-szimbólumokkal, ami meg parciális deriváltakkal, és ott látható igazán a dolog, hogy az az i index több helyen a parciális deriválás alatt szerepel, ezért kívülről nem húzogatható csak úgy fel-le.
"Igen, így van: a koordináták variációja nem változtat az EH-hatáson."
#Ezt akkor most már visszavonom. Nem jó.
És ez mellett az EH-hatást teljesen félremagyarázza a Landau II könyv. A 349. oldal első fele is a szerző rossz megértése miatt konkrétan teljesen rossz, és a 11. lábjegyzettel próbálja ellensúlyozni.
A koordináták rögzítettek, nem jöhet szóba itt azok variációja! Ezzel ront el mindent. A 349.-en, a 351. oldalon is, meg a 352.-en is.
Kizárólag a metrikus tenzort kell/lehet itt variálni.
És úgy néz ki, ha van benne anyag, elő sem fordulhat így, hogy a téridő metrikája (geometriája) nem változik (valamekkora tartományban, sőt, teljes egészében), mert ha ott megváltozik a metrikus tenzor, akkor ott ami van (anyag és anyagmozgás), az ennek megfelelően odébb kerül, elfordul. Ez pedig megváltoztatja a gravitációs tér(idő) szerkezetét.
Szóval nem a koordináták variációja van itt. Ez tévedés. És éveken keresztül akadályozta a megértésemet. Landaunak észre kellett volna vennie, hogy valamelyik balfácán társa (hacsak nem maga), akire ráadásul ezt az igen fontos részt bízta, ennyire elrontotta. 93.§ és 94.§
>amúgy az EH-hatás, és az hogy a metrikus tenzort kell benne variálni, az egy axióma, amit azért fogad el a fizikusok nagy része, mert 1. matematikailag szép és egyszerű 2. kijön belőle egy sor csillagászatilag ellenőrizhető, korrekt eredmény 3. nincs konkurense, ami egyszerre lenne hasonlóan szép és pontos.
#Ezzel nem értek egyet. Szerintem erre nagyon is jó ok van, csak pl. még egyetlen könyvben sem láttam leírva, de majd leírom, hogy mi. :)
Na, akkor lássuk:
A gravitációs hatáselv anyagi Lagrange-sűrűsége:
L = -μ0c2
A hatás metrikus tenzor szerinti variációjakor δμ0 = ∂μ0/∂gik δgik kifejezés lép fel. Az anyag nyugalmi sűrűségének a metrikus tenzor szerinti megváltozása fejben is könnyen belátható: Vegyünk Galilei-féle koordinátákat, ekkor a metrikus tenzor diagonális, és a térszerű rész lesz befolyással a sűrűségre. Mivel a metrikus tenzor ezen komponensei rendre az x,y,z irányú távolságnégyzettel arányosak, a térfogat pedig a távolsággal, a deriváláskor fellép egy 1/2 faktor. Az időszerű komponenst pedig uiuk -val kiüthetjük, így adódik:
gyök(-g)δμ0 =gyök(-g)μ0(gik-uiuk)δgik/2
gyök(-g) variációja is fellép a hatásintegrál variálásakor:
μ0δgyök(-g) = -μ0gyök(-g)gikδgik/2
Ezek összege kell szorozva -c2:
gyök(-g)μ0c2uiukδgik/2
És ott is van benne a μ0c2uiuk kifejezés, ami az anyagi energia-impulzus tenzor, aminek kovariáns divergenciája nulla kell legyen, ha a mozgás a görbült téridőben geodetikusokon megy végbe. Hát ez majd kiderül.
Most jön a görbült téridő Lagrange-sűrűsége:
L = G (nem az R Ricci-skalár)
G-ből már szerencsésen ki vannak gyomlálva a metrikus tenzor második deriváltjai, mert az nem lehet L-ben a hatáselv értelme szerint. G így már nem invariáns, azaz nem skalár, ahogy ekkor a hatás(integrál) sem. (megdőlt a korábbi álláspontunk...)
És ebből jön Tik-ra a téridő Riemann-geometriai adataiból az Rik - gikR/2 kifejezés (a közös konstans faktor, mint egy mértéket -1-nek vettem), aminek a Bianchi-azonosságból következően a kovariáns divergenciája nulla, ahogy annak lennie kell.
Itt a 352. oldalon a 14. lábjegyzet is hibás. Konkrétan azt gondolja és állítja a szerző, hogy az EH-hatás metrikus tenzor szerinti variációjakor a metrikus tenzor variációja a koordináták variációja miatt van, pedig pont hogy nem. És ez nagyon fontos.
"valamint az utána következő (94,6) Tikδxi;k index fel-le húzásos technikája is teljesen hibás."
#Ez mondjuk itt (vagy csak Tikδxi;k alapján) jónak tűnik, de azért hibás végül, mert Tik(δxi;k + δxk;i) =/= 2Tikδxi;k
A baloldalon nem lehetne ezt az index fel-le húzást végrehajtani, mert az egyik tagban(második) a k index nem a kovariáns deriválás indexe! (ott az i az) Tik szimmetrikussága nem szünteti meg ezt a típusú tagot, és nem is forgatja át a másik(első) típusúba. Ez ordas nagy matematikai hiba.
A hiba, amire gondolok, az egy dupla hiba. Az EH-hatás alapján a hatás variációjának integrálos felírásában (94,5) az integranduszban eljut egy Tikδgik kifejezéshez. Viszont ez a δgik (inverz) metrikus tenzor variáció nem a koordináták variációját jelenti, ahogy mondtam: azok rögzítve vannak a téridő eseményeihez, és csak a(z inverz) metrikus tenzor variációja van. Erre fogja, és beírja ide az előző oldalról a koordináták variációja alapján a (94,2) δgik = δxi;k + δxk;i kifejezést (valamint a hatás variációját nullává teszi), amivel aztán hibásan operál, mert egyébként Tikδgik = Tik(δxi;k + δxk;i) =/= 2Tikδxi;k valamint az utána következő (94,6) Tikδxi;k index fel-le húzásos technikája is teljesen hibás. Ehhez hasonlóan a (94,2) után elgondolt (94,3) -δgik = δxi;k + δxk;i kifejezés is hibás. Ez nem így működik... Így helytelenül jut Tik kovariáns deriváltja =0 kifejezéshez, ami alapján kívánja igazolni, hogy az az energia-impulzus tenzort jelentheti.
Igen, így van: a koordináták variációja nem változtat az EH-hatáson. Hasonlóan a négyestávolságokon sem. Ez utóbbi alapján nagyon szépen le is lehet vezetni a Christoffel-szimbólumokat.
>Amúgy szerintem a motivációt az EH-hatásra, ill. hogy benne a metrikus tenzort kell variálni, az adta, hogy hasonló módszer elég jól működött a Maxwell-egyenletekre. Ott az E2-B2, szintén skalár fg. négyesintegráljában kell variálni a megfelelő dinamikai mennyiséget, ami a 4d vektorpotenciál (Ai).
#Meglehet, hogy ez adott ihletet. A vektorpotenciál analógia látás szerintem nagyon jó, már régóta tetszik, és igen értékelem, sokat átgondoltam, látom a különbözéseket is ez mellett, amit szintén nagyon fontosnak tartok. Azt nem tudom, hogy ez mennyire tudománytörténeti spekuláció, ez is nagyon érdekelt, de máig nincs információm róla, mikor és ki által bukkant fel.
Ez mellett most inkább azt nyomozom, hogy vajon az oroszok értettek valamit félre (Landau, Lifsic), vagy már esetleg Hilbert is, az Einstein-egyenletek levezetésénél. Jó lenne valami dokumentum abból az időből (1915-16), csak annyit tudok, hogy Hilbert találta ki, és direkt nem publikálta, hanem elküldte Einsteinnek, mert nem akarta elvenni előle a babérokat. Azt akarom megtudni konkrétan, hogy Hilbert is úgy gondolta-e a számítást, mint ahogy a Landau II könyv 352. oldalán van (94,5) utántól (94,7)-ig. Az ugyanis hibás. A könyv ezzel próbálja igazolni, a bevezetett Tik jelölés energia-impulzus tenzor jogosultságát. De szerintem itt bakot lő. Ezt már régóta tudom, még mikor megcsináltam a már eltűnt Elméleti Fizika weboldalam, de sajnos akkor még nem sikerült jól átértelmezni, mert félig mégis hittem a könyvnek (ahogy Novobátzkyénak is a p nyomás jogosultságáról a relativitáselméletben).
>amúgy az EH-hatás, és az hogy a metrikus tenzort kell benne variálni, az egy axióma, amit azért fogad el a fizikusok nagy része, mert 1. matematikailag szép és egyszerű 2. kijön belőle egy sor csillagászatilag ellenőrizhető, korrekt eredmény 3. nincs konkurense, ami egyszerre lenne hasonlóan szép és pontos.
#Ezzel nem értek egyet. Szerintem erre nagyon is jó ok van, csak pl. még egyetlen könyvben sem láttam leírva, de majd leírom, hogy mi. :)
A koordináták variációja - akár infinitezimálisan kicsi, akár véges - azonosan nulla változást okoz az EH-hatáson. Ugyanis az EH-hatás az a Ricci-skalár koordinátafüggetlen négyesintegrálja. A koordinátafüggetlen négyesintegrál meg éppen azt jelenti, hogy ha egy skalárfüggvényt (bármely koordinátarsz-ben ugyanazt az értéket felvevő, valósértékű fg.) beteszek a hasába, akkor az eredményül kapott szám is független lesz az integrálásnál használt koordináta fg-től. Amúgy szerintem a motivációt az EH-hatásra, ill. hogy benne a metrikus tenzort kell variálni, az adta, hogy hasonló módszer elég jól működött a Maxwell-egyenletekre. Ott az E2-B2, szintén skalár fg. négyesintegráljában kell variálni a megfelelő dinamikai mennyiséget, ami a 4d vektorpotenciál (Ai). Nyilván Einstein & Co. bizonyos szempontból ugyanolyan mezőelméletnek látta a gravitáció elméletét, mint a Maxwell-egyenleteket, csak itt a metrikus tenzor volt a vektorpotenciál analogonja. De ez csak tudománytörténeti spekuláció a részemről, amúgy az EH-hatás, és az hogy a metrikus tenzort kell benne variálni, az egy axióma, amit azért fogad el a fizikusok nagy része, mert 1. matematikailag szép és egyszerű 2. kijön belőle egy sor csillagászatilag ellenőrizhető, korrekt eredmény 3. nincs konkurense, ami egyszerre lenne hasonlóan szép és pontos.
Előveszek egy kérdést. Most újra előjött a vizsgálataim során. Téma az általános relativitáselmélet, azon belül a variációs módszerek, pontosabban a metrikus tenzor variációja (1) vs. a koordináták variációja (2), majd az Einstein-Hilbert hatás.
Szóval azt akarom firtatni, hogy a metrikus tenzor variációjakor mi is a helyzet?
Én úgy gondolom, hogy ekkor (1) a koordinátákat kifejezetten nem szeretnénk más eseményekre áthelyezni (rögzítettek), hanem inkább csak azok távolságait ill. viszonylagos irányhelyzeteit módosítani. (Infinitezimálisan kis variációról van szó.)
Ettől függetlenül, a koordináták variációja (2) nyilván általában a metrikus tenzor variációját is kelti, de ekkor az események új koordinátákat kapnak, ami határozottan más, mint az 1-es eset.
Ez a legegyszerűbb, és sokmindenhez tökéletesen elegendő. Nem kell feltétlen a legbonyolultabb túldefiniált megoldás, ami linkelve volt korábban.
Használják bőségesen az említett Landau- és egyéb könyvek. A relativitáselmélet (Rieman-geometria) is jól érthető vele. Nem is kell több bizonyíték. Sőt, ebben egy egyszerűsített formalizmusú variációszámításra is átforgatja, ami nagyon hasznos.
Egyébként az érintővektorokhoz nem kell még az epszilon-delta sem. Azok derivációk, ami azt jelenti, hogy függvényekhez rendelnek lineárisan és a Leibniz-szabálynak eleget tevő módon számokat. Sehol egy epszilon, sehol egy delta, sehol egy infinitézimális, sehol egy végtelen.
Dehogy megy, az egy korrekt megoldás a problémára - legalábbis arra a részére, hogy szilárd alapokon lehessen differenciálszámítást végezni. Könnyen érthető, ezért tanítják ezt.
Készült más megoldás is, ami definiálta az infinizemiálisokat, az is jó megoldás. Nem is egy. Szabikué egyelőre nincs ezek között :-)
